Задание 8 ОГЭ по математике: степени и корни

В восьмом задании нужно упростить выражение со степенями или корнями и найти его значение. Числа выглядят страшно — a в двадцатой степени, корень из 147, — но после упрощения остаётся одно простое действие.

Главное правило задания: сначала упростить, потом считать. Тот, кто подставляет числа сразу, тратит десять минут и ошибается.

На странице

Свойства степеней с числами
Отрицательный показатель
Степени с переменной
Степень в степени
Степени с разными основаниями
Степени с двумя переменными
Произведение корней
Корни: произведение и частное
Корни: три множителя
Скобка, умноженная на корень
Квадрат числа с корнем в дроби
Корень из выражения с переменными
Корень из степеней a и −a
Корень из полного квадрата
Разность квадратов с корнями
Квадрат суммы или разности с корнем
Свойства, которые нужны
Вопросы и ответы

Коротко

При умножении степеней с одним основанием показатели складывают, при делении — вычитают, при возведении степени в степень — перемножают.
Отрицательный показатель переворачивает число: a⁻² = 1a².
Корень из произведения равен произведению корней, а (√a)² = a.
За верный ответ дают 1 балл. Частично верных ответов в первой части нет.

Как решать задание 8 ОГЭ по математике: все типы

1. Свойства степеней с числами

Основание одно и то же. Сложи показатели в числителе, вычти показатель знаменателя — останется небольшая степень, которую легко посчитать.

Найдите значение выражения 5² · 5⁵5⁵.

Решение

При умножении степеней с одним основанием показатели складываются: 5² · 5⁵ = 5⁷
При делении — вычитаются: 5⁷ : 5⁵ = 5²
5² = 25

Ответ: 25

Можно иначе. В числителе 7 множителей 5, в знаменателе — 5. После сокращения остаётся 2: 5² = 25.

Если получилось другое число

2 — Это показатель степени. Осталось вычислить 5².
10 — Степень — это умножение числа на себя: 5², а не 5 · 2.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

2. Отрицательный показатель

Показатели складывают со знаками: −4 и 7 дают 3. Минус в показателе не делает число отрицательным.

Найдите значение выражения 5⁻³ · 5⁶.

Решение

Основания одинаковые — показатели складываются: −3 + 6 = 3
5³ = 125

Ответ: 125

Можно иначе. 5⁻³ — это 15³. Тогда выражение равно 5⁶5³ = 5³ = 125.

Если получилось другое число

3 — Это показатель степени. Осталось вычислить 5³.
1953125 — Потерялся минус: складывать нужно −3 и 6.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

3. Степени с переменной

Подставлять значение рано. Сначала сложи и вычти показатели — останется a во второй или третьей степени, и только тогда подставь число.

Найдите значение выражения a⁷ · a⁹ : a¹³ при a = −2.

Решение

Подставлять рано — сначала упрости. При умножении показатели складываются: a⁷ · a⁹ = a¹⁶
При делении — вычитаются: a¹⁶ : a¹³ = a³
Теперь подставь a = −2: (−2)³ = −8

Ответ: −8

Можно иначе. Считать (−2)⁷ и (−2)⁹ по отдельности слишком долго, да и не нужно. Сразу сложи и вычти показатели: 7 + 9 − 13 = 3. Остаётся (−2)³ = −8.

Если получилось другое число

3 — Это показатель степени. Осталось вычислить (−2)³.
−6 — Степень — это умножение числа на себя: (−2)³, а не (−2) · 3.
8 — Проверь знак: отрицательное число в нечётной степени отрицательно.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

4. Степень в степени

Когда степень возводят в степень, показатели перемножают, а не складывают: (a³)⁴ = a¹². Дальше — как в предыдущем типе.

Найдите значение выражения (a⁴)³a¹⁴ при a = 2.

Решение

Степень возводят в степень — показатели перемножают: (a⁴)³ = a¹²
При делении показатели вычитают: a¹² : a¹⁴ = a⁻²
a⁻² = 1a². При a = 2: 14 = 0,25

Ответ: 0,25

Можно иначе. В числителе 12 множителей a, в знаменателе — 14. Числитель сократится целиком, внизу останется 2 множителя: 1a². При a = 2 это 14 = 0,25.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

5. Степени с разными основаниями

Приведи всё к одним основаниям: 81 — это 3 в четвёртой, 10 — это 2 · 5, 66 — это 6 · 11. После этого одинаковые основания сокращаются вычитанием показателей.

Найдите значение выражения 2¹² · 7⁹14⁹.

Решение

14 = 2 · 7, поэтому 14⁹ = 2⁹ · 7⁹
Степени 7⁹ сокращаются, а 2¹² : 2⁹ = 2³
2³ = 8

Ответ: 8

Можно иначе. Вынеси из числителя 2⁹ · 7⁹ = (2 · 7)⁹ = 14⁹ — это весь знаменатель. В числителе после этого остаётся 2³ = 8.

Если получилось другое число

3 — Это показатель степени. Осталось вычислить 2³.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

6. Степени с двумя переменными

Сокращай по каждой букве отдельно. Если b задано корнем, оставшаяся степень b обычно чётная: b в квадрате — это уже число без корня.

Найдите значение выражения a⁹ · (b⁵)²(a · b)⁸ при a = 6 и b = √6.

Решение

Упрости числитель и знаменатель: (b⁵)² = b¹⁰, (a · b)⁸ = a⁸ · b⁸
Сократи по каждой букве: a⁹ : a⁸ = a, b¹⁰ : b⁸ = b²
b² = (√6)² = 6. Остаётся 6 · 6 = 36

Ответ: 36

Можно иначе. Подставлять числа сразу бессмысленно: показатели слишком большие. После сокращения от выражения остаётся a · b² — и только теперь подставляют a = 6, b² = 6: 36.

Если получилось другое число

6 — Проверь показатель у b: в числителе и знаменателе он разный, и b² не сокращается.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

7. Произведение корней

Перемножь числа под одним корнем — получится точный квадрат. Или вынеси множители из-под каждого корня и перемножь то, что вышло.

Найдите значение выражения √28 · √7.

Решение

Произведение корней — корень из произведения: √28 · √7 = √196
√196 = 14, потому что 14 · 14 = 196

Ответ: 14

Можно иначе. Вынеси множители из-под корня: √28 = 2√7, √7 = √7. Тогда 2√7 · √7 = 2 · 7 = 14.

Если получилось другое число

196 — Ты перемножил числа под корнем. Осталось извлечь корень из 196.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

8. Корни: произведение и частное

Собери всё под один корень и сократи дробь под ним. Под корнем останется точный квадрат.

Найдите значение выражения √39 · √12√13.

Решение

Произведение и частное корней можно собрать под один корень: √(39 · 1213)
39 : 13 = 3, поэтому под корнем остаётся 3 · 12 = 36
√36 = 6

Ответ: 6

Можно иначе. Разложи первый корень: √39 = √13 · √3. Корень √13 сократится со знаменателем, останется √3 · √12 = √36 = 6.

Если получилось другое число

36 — Это число под корнем. Осталось извлечь корень из 36.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

9. Корни: три множителя

Не перемножай числа под корнем — раскладывай их на множители и ищи пары одинаковых. Каждая пара выходит из-под корня одним числом.

Найдите значение выражения √(13 · 12) · √156.

Решение

Собери всё под один корень: √(13 · 12 · 156)
Разложи на множители: 12 = 3 · 4, 156 = 13 · 3 · 4. Под корнем 13² · 3² · 16
Корень: 13 · 3 · 4 = 156

Ответ: 156

Можно иначе. Перемножать числа под корнем не нужно — получится 24336, и корень из него «в лоб» не извлечь. Ищи пары одинаковых множителей: каждая пара выходит из-под корня одним числом. Здесь пары — 13 и 13, 3 и 3, а также квадрат 16. Ответ: 156.

Если получилось другое число

24336 — Это число под корнем. Корень из него извлекают, раскладывая на множители.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

10. Скобка, умноженная на корень

Раскрой скобку: каждый корень умножается на корень за скобкой, и оба произведения извлекаются нацело.

Найдите значение выражения (√63 − √7) · √7.

Решение

Раскрой скобки: √63 · √7 − √7 · √7
√63 · √7 = √441 = 21, а √7 · √7 = 7
21 − 7 = 14

Ответ: 14

Можно иначе. Сначала упрости первый корень: √63 = 3√7. Тогда в скобке 3√7 − √7 = 2√7, и умножение на √7 даёт 2 · 7 = 14.

Если получилось другое число

28 — Проверь знак в скобке: там «−».

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

11. Квадрат числа с корнем в дроби

В квадрат возводится и число перед корнем, и сам корень: квадрат корня даёт подкоренное число. Дальше обычная дробь.

Найдите значение выражения 450(5√2)².

Решение

Возведи в квадрат и число, и корень: (5√2)² = 25 · 2 = 50
450 : 50 = 9

Ответ: 9

Можно иначе. (5√2)² — это 5√2 · 5√2: числа перемножаются с числами, корни с корнями, 25 · 2 = 50. Тогда дробь равна 450 : 50 = 9.

Если получилось другое число

45 — В квадрат возводится и множитель 5: (5√2)² = 25 · 2.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

12. Корень из выражения с переменными

Корень извлекается из каждого множителя: показатели делятся пополам, из числа берётся обычный корень. Подставляй значения только после этого.

Найдите значение выражения √(4x⁴y⁶) при x = 5 и y = 2.

Решение

Корень из дроби — дробь из корней: √(4x⁴)√(y⁶)
√4 = 2, √(x⁴) = x², √(y⁶) = y³: получается 2x²y³
При x = 5, y = 2: 508 = 6,25

Ответ: 6,25

Можно иначе. Под корнем стоит квадрат дроби 2x²y³: возведи её в квадрат и убедись. Корень из квадрата положительного числа — само число, остаётся подставить: 6,25.

Если получилось другое число

39,0625 — Это выражение под корнем. Корень ещё нужно извлечь.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

13. Корень из степеней a и −a

Чётная степень «съедает» минус: (−a) в чётной степени равно a в той же степени. Сложи показатели и раздели пополам.

Найдите значение выражения √((−a)² · a⁴) при a = 3.

Решение

Показатель 2 чётный, поэтому минус исчезает: (−a)² = a²
Под корнем a⁴ · a² = a⁶, корень из него — a³
При a = 3: 3³ = 27

Ответ: 27

Можно иначе. Подставь a = 3 сразу в скобку: (−3)² = 9 — положительное число. Тогда под корнем 81 · 9 = 729, и корень равен 27.

Если получилось другое число

−27 — Чётная степень отрицательного числа положительна, а значение корня не бывает отрицательным.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

14. Корень из полного квадрата

Под корнем спрятан квадрат суммы или разности. Сверни его по формуле — корень и квадрат уничтожатся, останется модуль выражения. Дробные значения подобраны так, что в сумме дают целое число.

Найдите значение выражения √(a² + 10ab + 25b²) при a = 617 и b = 47.

Решение

Под корнем квадрат суммы: a² + 10ab + 25b² = (a + 5b)²
Корень из квадрата положительного числа — само число: a + 5b
617 + 5 · 47 = 617 + 207 = 6217 = 9

Ответ: 9

Можно иначе. Числа подобраны так, чтобы дроби сложились в целое: 5b = 207, и вместе с дробной частью числа a это 217 = 3. Поэтому сначала сворачивают выражение в (a + 5b)², а не возводят дроби в квадрат. Ответ: 9.

Если получилось другое число

81 — Это выражение под корнем. Корень ещё нужно извлечь.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

15. Разность квадратов с корнями

Две скобки отличаются только знаком. Это формула (x − y)(x + y) = x² − y²: корни исчезают, остаётся вычитание.

Найдите значение выражения (√11 + √13)(√11 − √13).

Решение

Скобки отличаются только знаком — это разность квадратов: (x − y)(x + y) = x² − y²
Квадраты: (√11)² = 11, (√13)² = 13
11 − 13 = −2

Ответ: −2

Можно иначе. Можно раскрыть скобки и без формулы: получится 11, два слагаемых √11 · √13 с разными знаками и −13. Слагаемые с корнем уничтожаются, остаётся 11 − 13 = −2.

Если получилось другое число

24 — Между квадратами стоит минус: x² − y².
2 — Вычитают из квадрата первого числа квадрат второго: 11 − 13.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

16. Квадрат суммы или разности с корнем

Раскрой квадрат по формуле. Слагаемое с корнем, которое получится, уничтожится тем, что стоит после скобки, — останутся только квадраты.

Найдите значение выражения (√13 − 2)² + 4√13.

Решение

Квадрат разности: (x − y)² = x² − 2xy + y²
(√13 − 2)² = 13 − 4√13 + 4
Слагаемые с корнем уничтожаются: 13 − 4√13 + 4 + 4√13 = 17

Ответ: 17

Можно иначе. Присмотрись ко второму слагаемому: 4√13 — это как раз удвоенное произведение 2 · 2 · √13 из формулы. Оно прибавляется, и от квадрата разности остаются только квадраты: 13 + 4 = 17.

Если получилось другое число

15 — Число 2 тоже возводят в квадрат: 2² = 4.
9 — И в квадрате суммы, и в квадрате разности y² стоит с плюсом: 13 + 4.
173 — (√13)² = 13, а не 169: корень и квадрат «съедают» друг друга.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Свойства, которые нужны

a^m · a^n = a^{m + n}
a^m : a^n = a^{m − n}
(a^m)^n = a^mn
a^−n = 1a^n
√a · √b = √(ab), (√a)² = a
(x − y)(x + y) = x² − y², (x ± y)² = x² ± 2xy + y²

Вопросы и ответы

Почему нельзя сразу подставить число вместо буквы?

Можно, но придётся считать что-нибудь вроде 2 в семнадцатой степени. После упрощения остаётся 2 в третьей — и ответ готов за секунду.

Что получится, если отрицательное число возвести в степень?

В чётной степени — положительное число, в нечётной — отрицательное: (−2)² = 4, (−2)³ = −8.

Как быть, если корень не извлекается?

В ответе корней не остаётся. Если корень не извлекается, значит, его нужно сначала перемножить с другим корнем или возвести в квадрат.

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Другие разборы

Задания и разборы составлены по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Тексты заданий наши; числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.