Задание 25 ОГЭ по математике: геометрия высокого уровня

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 3, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 131° и 109°.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи AD.

Решение

1. Точка M равноудалена от вершин — она центр окружности, описанной около ABCD, а AD — её диаметр
2. Сумма углов четырёхугольника 360°: углы A и D вместе дают 360° − 131° − 109° = 120°
3. Треугольники AMB и DMC равнобедренные (их боковые стороны — радиусы): угол AMB равен 180° − 2A, угол DMC равен 180° − 2D. Вместе: 360° − 2 · 120° = 120°
4. Четырёхугольник выпуклый, поэтому его вершины идут по окружности в порядке A, B, C, D, и лучи MB и MC делят развёрнутый угол AMD на три угла: AMB, BMC и CMD. На угол BMC остаётся 180° − 120° = 60°. Треугольник BMC равнобедренный с углом 60° при вершине — он равносторонний: радиус равен BC = 3
5. AD — диаметр: 2 · 3 = 6

Ответ: 6

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 3 — Это радиус окружности: треугольник BMC равносторонний. AD — диаметр, он вдвое больше.
• 12 — Радиус равен BC, а диаметр — двум радиусам, а не четырём.

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. Известно, что AD = 44, MD = 22, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи AH.

Решение

1. Угол BMC опирается на диаметр BC, значит, он прямой. MD — высота прямоугольного треугольника BMC, проведённая к гипотенузе: MD² = BD · DC
2. Треугольники BDH и ADC прямоугольные, и угол HBD равен углу DAC: оба дополняют угол C до 90°. Значит, они подобны, и BD : AD = HD : DC, то есть BD · DC = AD · HD
3. Из двух равенств: AD · HD = MD², откуда HD = 22² : 44 = 11
4. AH = AD − HD = 44 − 11 = 33

Ответ: 33

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 11 — Это HD — расстояние от точки пересечения высот до стороны BC. Спрашивают AH.
• 22 — Это отрезок AM. Точка H — не M: её положение находят из равенства AD · HD = MD².

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 72, BC = 32.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи это расстояние.

Решение

1. Продли стороны AB и CD до пересечения в точке P. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки: PE² = PC · PD
2. Пусть угол между прямыми AB и CD равен φ. BC и AD перпендикулярны AB, поэтому BC = PC · sin φ и AD = PD · sin φ
3. Расстояние от E до прямой CD — перпендикуляр из E: оно равно PE · sin φ
4. (PE · sin φ)² = PC · PD · sin² φ = BC · AD = 32 · 72 = 2304. Расстояние равно √2304 = 48

Ответ: 48

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 52 — Это средняя линия — среднее арифметическое оснований. Здесь получается среднее геометрическое: корень из произведения.
• 2304 — Это квадрат расстояния. Осталось извлечь корень из 2304.

Окружности радиусов 15 и 35 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи это расстояние.

Решение

1. Пусть O1 и O2 — центры, O1O2 = 15 + 35 = 50. Радиусы O1A и O2C перпендикулярны касательной AC, поэтому они параллельны
2. Проведи через O1 прямую, параллельную AC, до пересечения с O2C в точке H. В прямоугольном треугольнике O1HO2 катет O2H равен 35 − 15 = 20, гипотенуза — 50. Косинус угла между радиусами и линией центров равен 2050
3. Касательные AC и BD пересекаются в точке P на линии центров: центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. PA = PB как отрезки касательных, O1A = O1B как радиусы, поэтому прямая PO1 — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Так же она перпендикулярна CD: прямые AB и CD перпендикулярны линии центров
4. Точка A смещена от O1 вдоль линии центров на 15 · 2050 в сторону от O2, точка C от O2 — на 35 · 2050 в ту же сторону
5. Расстояние между прямыми: 50 + 15 · 2050 − 35 · 2050 = 50 − 40050 = 210050 = 42

Ответ: 42

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 50 — Это расстояние между центрами. Хорды AB и CD смещены от центров в одну сторону — на разные расстояния.