Задание 14 ОГЭ по математике: задачи на прогрессии

Q: Как понять, арифметическая прогрессия или геометрическая?

По словам в условии. «На 3 больше», «на 4 метра меньше» — арифметическая. «Вдвое», «в три раза меньше» — геометрическая.

Q: Почему в задаче про охлаждение не работает формула с n − 1?

Формула работает, но начальная температура — это первый член, а «через 4 минуты» — уже пятый. Проще считать шаги: каждый шаг — одна минута.

Q: Можно ли решать без формул, перебором?

Да, если членов немного. В задачах про мячик, изотоп и торможение выписать шесть–восемь чисел быстрее и надёжнее, чем вспоминать формулу.

Четырнадцатое задание — всегда текстовая задача, за которой прячется прогрессия: арифметическая, если каждый раз прибавляют или отнимают одно и то же число, и геометрическая, если умножают или делят.

Сюжетов в открытом банке ФИПИ немного, и они повторяются из года в год. Достаточно один раз разобрать каждый — и на экзамене останется только подставить свои числа.

На странице

Ряды в зале: число мест в ряду
Амфитеатр: сколько мест всего
Амфитеатр: известны два ряда
Торможение автомобиля
Поезд начал движение
Вещество охлаждали
Распад изотопа
Колония микроорганизмов
Мячик отскакивает от пола
Формулы, которые нужны
Вопросы и ответы

Коротко

Первый шаг — понять, какая прогрессия: «на столько-то больше» — арифметическая, «во столько-то раз» — геометрическая.
Второй шаг — понять, что спрашивают: один член или сумму нескольких.
Когда членов немного, их можно просто выписать — это надёжнее формулы.
За верный ответ дают 1 балл. Частично верных ответов в первой части нет.

Как решать задание 14 ОГЭ по математике: все типы

1. Ряды в зале: число мест в ряду

В каждом ряду на одно и то же число мест больше. От первого ряда до n-го переходов на один меньше, чем номер ряда: n − 1.

В первом ряду зрительного зала 29 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером 8?

Решение

Число мест по рядам — арифметическая прогрессия: a1 = 29, d = 2
a8 = a1 + d · (n − 1) = 29 + 2 · 7
a8 = 29 + 14 = 43

Ответ: 43

Можно иначе. От первого ряда до 8-го — 7 переходов, на каждом добавляется 2. Всего добавится 14: 29 + 14 = 43.

Если получилось другое число

45 — Ты прибавил 2 столько раз, сколько рядов. Переходов между рядами на один меньше: 7.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

2. Амфитеатр: сколько мест всего

Нужна сумма. Найди последний ряд, сложи его с первым, умножь на число рядов и раздели на 2.

В первом ряду амфитеатра 21 место, а в каждом следующем на 1 место больше, чем в предыдущем. Всего в амфитеатре 11 рядов. Сколько в нём мест?

Решение

Число мест по рядам — арифметическая прогрессия: a1 = 21, d = 1
В последнем ряду: a11 = 21 + 1 · 10 = 31
Всего мест: S11 = (21 + 31) · 112 = 286

Ответ: 286

Можно иначе. В среднем на ряд приходится столько мест, сколько посередине между первым и последним рядом: (21 + 31) : 2 = 26. Рядов 11, значит, мест 26 · 11 = 286.

Если получилось другое число

31 — Это число мест в последнем ряду, а спрашивают про весь амфитеатр.
572 — В формуле суммы есть деление на 2.
231 — Ряды не одинаковые: в каждом следующем на 1 больше.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

3. Амфитеатр: известны два ряда

Первый ряд не дан. По двум известным рядам найди, сколько мест прибавляется за один переход, а потом дойди до последнего ряда.

В амфитеатре 18 рядов, и в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В 6-м ряду 25 мест, а в 8-м — 31. Сколько мест в последнем ряду?

Решение

От 6-го ряда до 8-го — 2 перехода, и мест стало больше на 31 − 25 = 6
На один переход приходится 6 : 2 = 3 — это разность прогрессии
От 8-го ряда до последнего, 18-го, — 10 переходов: 31 + 3 · 10 = 61

Ответ: 61

Можно иначе. Найди разность так же: (31 − 25) : 2 = 3. Потом вернись к первому ряду: 25 − 3 · 5 = 10. Теперь по формуле: a18 = 10 + 3 · 17 = 61.

Если получилось другое число

85 — От 8-го ряда до 18-го переходов 10, а не 18.
64 — От первого ряда до 18-го переходов 17, а не 18.
3 — Это разность — на сколько мест больше в каждом следующем ряду. Спрашивают про последний ряд.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

4. Торможение автомобиля

Путь за секунду каждый раз уменьшается на одно и то же число — прогрессия убывает. Спрашивают сумму: либо за первые несколько секунд, либо до остановки, то есть пока член не станет нулём.

Мотоциклист начал тормозить перед светофором. За первую секунду после этого мотоцикл проехал 12 м, а за каждую следующую — на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров мотоцикл проехал до полной остановки?

Решение

Путь по секундам — арифметическая прогрессия: a1 = 12, d = −2
Остановка — когда очередной член равен нулю. За 6-ю секунду пройдено 12 − 2 · 5 = 2 м, за следующую — уже 0. Значит, складывать нужно 6 членов
S6 = (12 + 2) · 62 = 42

Ответ: 42

Можно иначе. Членов немного — их можно просто выписать и сложить: 12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 42.

Если получилось другое число

84 — В формуле суммы есть деление на 2.
72 — Путь за секунду не одинаковый: каждую секунду он на 2 м меньше.
2 — Это путь за одну последнюю секунду, а спрашивают весь путь.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

5. Поезд начал движение

То же, что торможение, только путь растёт, а числа десятичные. Нужна сумма за первые n секунд.

Шарик отпустили на наклонном жёлобе. За первую секунду шарик прокатился на 0,2 м, а за каждую следующую прокатывался на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров шарик прокатился за первые 6 секунд движения?

Решение

Путь по секундам — арифметическая прогрессия: a1 = 0,2, d = 0,3
Путь за 6-ю секунду: a6 = 0,2 + 0,3 · 5 = 1,7
S6 = (0,2 + 1,7) · 62 = 5,7

Ответ: 5,7

Можно иначе. Если бы каждую секунду путь был 0,2 м, вышло бы 0,2 · 6 = 1,2. Прибавки по секундам: 0, 0,3, 0,6 и так далее — всего 15 раз по 0,3, то есть 4,5. Вместе: 1,2 + 4,5 = 5,7.

Если получилось другое число

1,7 — Это путь за одну 6-ю секунду, а спрашивают путь за все 6.
11,4 — В формуле суммы есть деление на 2.
1,2 — Путь за секунду растёт: каждую секунду он на 0,3 м больше.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

6. Вещество охлаждали

Здесь ловушка: «через 4 минуты» — это четыре шага от начальной температуры, а не три. Формула n-го члена с её «n − 1» сбивает; проще отнять от начала скорость, умноженную на время.

В ходе опыта вещество равномерно охлаждали: каждую минуту его температура опускалась на 4 °C. В начале опыта температура вещества была 7 °C. Найдите температуру вещества через 6 минут после начала опыта. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение

За каждую минуту — на 4 °C меньше. За 6 минут: 4 · 6 = 24
7 − 24 = −17

Ответ: −17

Можно иначе. Выпиши температуру по минутам, начиная с нулевой: 7; 3; −1; −5; −9; −13; −17. Через 6 минут — −17.

Если получилось другое число

−13 — Здесь ловушка формулы an: начальная температура — это минута 0, поэтому за 6 минут температура опустится ровно 6 раз, а не 5.
31 — Вещество охлаждали — температура уменьшается.
−31 — Проверь знаки: от начальной температуры нужно отнять, а не менять её знак.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

7. Распад изотопа

Масса уменьшается вдвое за каждый промежуток. Раздели всё время на длину промежутка — узнаешь, сколько раз делить на 2.

Масса радиоактивного изотопа уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начале наблюдения она составляла 100 мг. Найдите массу изотопа через 12 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Сколько раз масса успеет уменьшиться вдвое: 12 : 6 = 2
Каждый раз масса делится на 2, всего 2 раза подряд — это деление на 2² = 4
100 : 4 = 25

Ответ: 25

Можно иначе. Делений всего 2 — их можно выписать: 100 → 50 → 25. В конце стоит 25.

Если получилось другое число

50 — Промежутков по 6 минут прошло 2, а не 1: начальная масса — это ещё до первого деления.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

8. Колония микроорганизмов

Зеркальная задача: масса растёт в 2 или 3 раза за промежуток. Число промежутков — время, делённое на длину промежутка; столько раз и умножай.

В питательную среду поместили колонию микроорганизмов массой 15 мг. Каждые 30 минут масса колонии увеличивается вдвое. Найдите массу колонии через 90 минут после начала опыта. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Сколько раз масса успеет вырасти вдвое: 90 : 30 = 3
Каждый раз масса умножается на 2, всего 3 раза подряд — это умножение на 2³ = 8
15 · 8 = 120

Ответ: 120

Можно иначе. Умножений всего 3 — их можно выписать: 15 → 30 → 60 → 120. В конце стоит 120.

Если получилось другое число

90 — Вдвое 3 раза подряд — это умножение на 2³ = 8, а не на 2 · 3 = 6.
60 — Промежутков по 30 минут прошло 3, а не 2: начальная масса — это ещё до первого умножения.
240 — Промежутков по 30 минут прошло 3, а не 4.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

9. Мячик отскакивает от пола

Спрашивают не высоту, а номер отскока. Переведи метры в сантиметры и выписывай высоты, пока не получится меньше порога.

Резиновый мячик с силой ударили о пол. После первого отскока он поднялся на 3,6 м, а при каждом следующем отскоке поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую поднимется мячик, впервые станет меньше 65 см?

Решение

Высоты отскоков — геометрическая прогрессия: каждая следующая в 3 раза меньше. Переведи первую в сантиметры: 3,6 м = 360 см
Выписывай высоты, пока не получится меньше 65: 360; 120; 40
40 < 65 — это отскок с номером 3

Ответ: 3

Можно иначе. Раздели первую высоту на порог: 360 : 65 ≈ 5,5. Высота станет меньше 65 см, когда уменьшится больше чем во столько раз. 3¹ = 3 — ещё мало, 3² = 9 — уже хватает. Показатель на единицу меньше номера отскока, поэтому номер — 3.

Если получилось другое число

2 — На отскоке с номером 2 высота ещё 120 см — это больше 65 см.
4 — Высота меньше 65 см уже на отскоке с номером 3: там 40 см.
40 — Это высота отскока, а спрашивают его номер.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Формулы, которые нужны

Арифметическая прогрессия, n-й член: an = a1 + d · (n − 1).
Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов: Sn = (a1 + an) · n2.
Геометрическая прогрессия, n-й член: bn = b1 · q^{n − 1}.

Эти формулы есть в справочных материалах, которые выдают на экзамене. Запоминать их не обязательно, а вот понимать, откуда берётся «n − 1», нужно: между n членами всегда n − 1 шаг.

Вопросы и ответы

Как понять, арифметическая прогрессия или геометрическая?

По словам в условии. «На 3 больше», «на 4 метра меньше» — арифметическая. «Вдвое», «в три раза меньше» — геометрическая.

Почему в задаче про охлаждение не работает формула с n − 1?

Формула работает, но начальная температура — это первый член, а «через 4 минуты» — уже пятый. Проще считать шаги: каждый шаг — одна минута.

Можно ли решать без формул, перебором?

Да, если членов немного. В задачах про мячик, изотоп и торможение выписать шесть–восемь чисел быстрее и надёжнее, чем вспоминать формулу.

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Другие разборы

Задания и разборы составлены по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Тексты заданий наши; числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.