Задание 16 ОГЭ по математике: окружность

Шестнадцатое задание — про окружность: углы, которые в неё вписаны, и фигуры, которые вписаны в неё или описаны около неё.

Задач на углы и задач на длины здесь примерно поровну. Первые держатся на одном факте — вписанный угол равен половине дуги, — вторые на том, как радиус связан со стороной квадрата, треугольника или трапеции.

На странице

Центральный и вписанный углы
Угол, опирающийся на диаметр
Два диаметра
Точки по разные стороны от диаметра
Вписанный четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник: углы на одной дуге
Центр описанной окружности на стороне
Окружность около прямоугольного треугольника
Окружность и равносторонний треугольник
Окружность, вписанная в квадрат
Окружность, описанная около квадрата
Окружность, вписанная в ромб
Окружность, вписанная в трапецию
Четырёхугольник, описанный около окружности
Две касательные из одной точки
Прямоугольник и описанная окружность
Окружность с центром в середине стороны квадрата
Площадь через периметр и радиус
Факты, которые закрывают задание
Вопросы и ответы

Коротко

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
Вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой.
Чертёж на экзамене не обязан быть в масштабе: измерять по нему нельзя.
Задания 15–19 — геометрия. По рекомендациям Рособрнадзора 2026 года для тройки нужно набрать не меньше 8 баллов за всю работу, из них не меньше 2 — за геометрию.
За верный ответ дают 1 балл. Частично верных ответов в первой части нет.

Как решать задание 16 ОГЭ по математике: все типы

1. Центральный и вписанный углы

Оба угла опираются на одну дугу. Вписанный вдвое меньше центрального.

Вписанный угол ACB равен 60°. Найдите центральный угол AOB, который опирается на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол ACB и центральный угол AOB опираются на одну дугу AB
Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу
Угол AOB: 2 · 60° = 120°

Ответ: 120

Можно иначе. Вписанный угол равен половине дуги, значит дуга AB — 120°. Центральный угол равен своей дуге: 120°.

Если получилось другое число

30 — Центральный угол вдвое больше вписанного, а не меньше.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

2. Угол, опирающийся на диаметр

Если сторона треугольника — диаметр описанной окружности, угол напротив неё прямой. Дальше острые углы в сумме дают 90°.

Сторона AB треугольника ABC является диаметром описанной около него окружности. Угол A равен 55°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол C вписанный и опирается на диаметр AB, поэтому он прямой: 90°
На углы A и B остаётся 180° − 90° = 90°
Угол B: 90° − 55° = 35°

Ответ: 35

Можно иначе. Треугольник, вписанный в окружность со стороной-диаметром, всегда прямоугольный. Его острые углы в сумме дают 90°, значит угол B равен 35°.

Если получилось другое число

125 — Угол C здесь прямой: он опирается на диаметр. Острые углы в сумме дают 90°, а не 180°.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

3. Два диаметра

Диаметры пересекаются в центре и образуют вертикальные и смежные углы. Найди центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и нужный вписанный, и раздели пополам.

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 57°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол ACB опирается на дугу AB, центральный угол AOB — на ту же дугу. Он вдвое больше
Угол AOB: 2 · 57° = 114°
Углы AOB и AOD смежные (BD — прямая): 180° − 114° = 66°

Ответ: 66

Можно иначе. Треугольник BOC равнобедренный: OB и OC — радиусы. Углы при основании BC равны 57°, значит, угол BOC равен 180° − 2 · 57° = 66°. Углы BOC и AOD вертикальные, поэтому угол AOD тоже 66°.

Если получилось другое число

114 — Это угол AOB. Угол AOD — смежный с ним.
57 — Угол AOD центральный, он не равен вписанному углу ACB.
123 — Сначала удвой вписанный угол — получится центральный угол AOB, и только потом вычитай из 180°.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

4. Точки по разные стороны от диаметра

Дострой треугольник на диаметре — он прямоугольный. Найди в нём второй острый угол, а потом воспользуйся тем, что вписанные углы на одной дуге равны.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что угол NBA равен 67°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Проведи AN. Угол ANB опирается на диаметр, поэтому он прямой
В треугольнике ANB угол NAB равен 90° − 67° = 23°
Углы NMB и NAB вписанные и опираются на одну дугу NB, значит, угол NMB тоже 23°

Ответ: 23

Можно иначе. Через дуги: диаметр делит окружность на две дуги по 180°. Угол NBA вписанный, его дуга AN равна 2 · 67° = 134°. На дугу NB остаётся 180° − 134° = 46°. Угол NMB опирается на неё и равен половине: 23°.

Если получилось другое число

67 — Углы NMB и NBA опираются на разные дуги: NB и AN. Они не равны.
46 — Это дуга NB. Вписанный угол равен её половине.
113 — Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° — вычитать нужно из 90°.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

5. Вписанный четырёхугольник

Противоположные углы четырёхугольника, вписанного в окружность, в сумме дают 180°. Вписанная трапеция всегда равнобедренная.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол A равен 48°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

У четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180°
Углы A и C — противоположные: 180° − 48° = 132°

Ответ: 132

Можно иначе. Углы A и C вписанные и опираются на две дуги BD, которые вместе составляют всю окружность — 360°. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому вместе углы дают 180°. Угол C равен 132°.

Если получилось другое число

48 — Противоположные углы вписанного четырёхугольника не равны, а дополняют друг друга до 180°.
312 — До 360° дополняют друг друга все четыре угла вместе, а два противоположных — до 180°.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

6. Вписанный четырёхугольник: углы на одной дуге

Диагональ делит угол на две части. Одна из них равна данному углу, потому что оба опираются на одну дугу. Дальше — сложить или вычесть.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 34°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы CAD и CBD вписанные и опираются на одну дугу CD, поэтому они равны
Угол CBD равен 34°
Угол ABD — то, что остаётся от угла ABC: 54° − 34° = 20°

Ответ: 20

Можно иначе. Диагональ BD делит угол ABC на две части: ABD и CBD. Угол CBD «смотрит» на ту же дугу CD, что и угол CAD, значит, равен 34°. На угол ABD остаётся 20°.

Если получилось другое число

88 — Угол ABD — часть угла ABC, он меньше его: вычитай, а не складывай.
126 — Это угол, противоположный углу ABC. Спрашивают его часть — угол ABD.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

7. Центр описанной окружности на стороне

Раз центр лежит на стороне, эта сторона — диаметр, а треугольник прямоугольный. Удвой радиус и примени теорему Пифагора.

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 5. Найдите AC, если BC = 8.

Решение

Центр лежит на AB, значит, AB — диаметр: AB = 2 · 5 = 10
Угол C опирается на диаметр, поэтому он прямой: треугольник прямоугольный с гипотенузой AB
По теореме Пифагора: AC² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36, AC = 6

Ответ: 6

Можно иначе. Главное — увидеть прямоугольный треугольник: сторона, на которой лежит центр описанной окружности, — это диаметр и гипотенуза. Она равна 10, катет 8. Это известная тройка: второй катет равен 6.

Если получилось другое число

5 — Это радиус. Сторона AB — диаметр, она равна 10; дальше нужна теорема Пифагора.
2 — Вычитают не стороны, а их квадраты.
10 — Это диаметр AB. Спрашивают катет AC.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

8. Окружность около прямоугольного треугольника

Гипотенуза — диаметр. Радиус равен её половине; если даны катеты, гипотенузу сначала находят по теореме Пифагора.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 24, BC = 32. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Гипотенуза по теореме Пифагора: AB² = 24² + 32² = 1600, AB = 40
Гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности
Радиус: 40 : 2 = 20

Ответ: 20

Можно иначе. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы. Гипотенуза здесь 40 (катеты 24 и 32), её половина — 20.

Если получилось другое число

40 — Это гипотенуза — диаметр окружности. Радиус вдвое меньше.
28 — Гипотенуза — не сумма катетов: её находят по теореме Пифагора.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

9. Окружность и равносторонний треугольник

Радиус описанной окружности равен стороне, делённой на √3, вписанной — вдвое меньше. Числа в условии подобраны так, что корень сокращается.

Сторона равностороннего треугольника равна 24√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

В равностороннем треугольнике со стороной a радиус описанной окружности R = a√3, а вписанной — вдвое меньше: r = a2√3
r = 24√32√3 = 12

Ответ: 12

Можно иначе. Высота такого треугольника: 24√3 · √32 = 36. Центр окружности делит высоту в отношении 2 : 1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности — одна треть высоты: 12.

Если получилось другое число

24 — Это радиус описанной окружности. У вписанной он вдвое меньше.
36 — Это высота треугольника. Радиус вписанной окружности — её треть.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

10. Окружность, вписанная в квадрат

Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата, радиус — её половине.

Сторона квадрата равна 18. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение

Вписанная окружность касается всех сторон квадрата
Её диаметр равен стороне квадрата, а радиус — половине стороны
Радиус: 18 : 2 = 9

Ответ: 9

Можно иначе. От центра квадрата до каждой его стороны — половина стороны. Это и есть радиус: 9.

Если получилось другое число

18 — Стороне квадрата равен диаметр. Радиус вдвое меньше.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

11. Окружность, описанная около квадрата

Диаметр описанной окружности — диагональ квадрата, а диагональ равна стороне, умноженной на √2.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 19√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение

Диаметр описанной окружности — диагональ квадрата: 2 · 19√2 = 38√2
Диагональ квадрата со стороной a равна a√2
a√2 = 38√2, значит, a = 38

Ответ: 38

Можно иначе. Центр квадрата соединён с двумя соседними вершинами радиусами, и угол между ними прямой. По теореме Пифагора квадрат стороны равен (19√2)² + (19√2)² = 722 + 722 = 1444. Сторона равна 38.

Если получилось другое число

19 — Сторона квадрата больше радиуса описанной окружности: сначала удвой радиус, чтобы получить диагональ.
76 — На √2 нужно делить диагональ, а не умножать.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

12. Окружность, вписанная в ромб

Центр окружности — точка пересечения диагоналей, а радиус — перпендикуляр из неё к стороне. В прямоугольном треугольнике из половин диагоналей это высота к гипотенузе; её находят через синус угла, а синус — из данного тангенса.

Диагональ AC ромба ABCD равна 58, а tg BCA = 2120. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение

Центр вписанной окружности — точка O пересечения диагоналей: OC = 58 : 2 = 29
Радиус — расстояние от O до стороны BC, то есть высота OH прямоугольного треугольника BOC. В треугольнике OHC он лежит против угла C: OH = OC · sin C
tg C = 2120: в треугольнике с катетами 21 и 20 гипотенуза равна 29, значит, sin C = 2129
Радиус: 29 · 2129 = 21

Ответ: 21

Можно иначе. Найди стороны треугольника BOC: OC = 29, BO = 29 · 2120 = 60920, BC по теореме Пифагора — 84120. Высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: 21.

Если получилось другое число

30,45 — Это отрезок BO — половина второй диагонали. Радиус — перпендикуляр из O к стороне ромба, он короче.
29 — Это половина диагонали AC. Радиус вписанной окружности — расстояние от центра до стороны.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

13. Окружность, вписанная в трапецию

Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру — двум радиусам. Вид трапеции значения не имеет.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.

Решение

Вписанная окружность касается обоих оснований. Основания параллельны, поэтому точки касания лежат на одном диаметре
Этот диаметр перпендикулярен основаниям — он и есть высота: 2 · 34 = 68

Ответ: 68

Можно иначе. Высота трапеции — расстояние между основаниями. От центра окружности до каждого основания — радиус, 34. Центр лежит между основаниями, значит, расстояние между ними 34 + 34 = 68. Вид трапеции на ответ не влияет.

Если получилось другое число

34 — Это расстояние от центра только до одного основания. До второго — столько же.
136 — Высота равна диаметру — двум радиусам, а не четырём.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

14. Четырёхугольник, описанный около окружности

Суммы противоположных сторон равны. Запиши это равенство и найди неизвестную сторону.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 16, BC = 6, CD = 5. Найдите AD.

Решение

У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD
16 + 5 = 6 + AD
AD = 21 − 6 = 15

Ответ: 15

Можно иначе. Почему суммы равны: отрезки касательных, проведённых из одной вершины, одинаковы. Каждая сторона состоит из двух таких отрезков, и в обеих суммах набираются одни и те же четыре отрезка. Поэтому AD = 16 + 5 − 6 = 15.

Если получилось другое число

17 — Складывают противоположные стороны: AB с CD, а BC с AD.
−5 — Складывают противоположные стороны: AB с CD, а BC с AD.
27 — Это сумма трёх сторон. Используй равенство AB + CD = BC + AD.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

15. Две касательные из одной точки

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Из четырёхугольника с двумя прямыми углами находят центральный угол, а из равнобедренного треугольника — угол при хорде. Он равен половине угла между касательными.

Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 70°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: углы при точках A и B в четырёхугольнике, образованном касательными и радиусами, прямые
Сумма углов четырёхугольника 360°, поэтому угол AOB равен 360° − 90° − 90° − 70° = 110°
Треугольник AOB равнобедренный (OA и OB — радиусы): угол ABO равен (180° − 110°) : 2 = 35°

Ответ: 35

Можно иначе. Пусть касательные пересекаются в точке P. Прямая PO делит угол между ними пополам: угол BPO равен 70° : 2 = 35°. В треугольнике OBP угол B прямой, поэтому угол BOP равен 90° − 35° = 55°. OA = OB, и PO — биссектриса угла AOB в равнобедренном треугольнике AOB, а значит, и высота: PO перпендикулярна AB. В прямоугольном треугольнике, который она отрезает, угол ABO равен 90° − 55° = 35°.

Если получилось другое число

110 — Это центральный угол AOB. Угол ABO — угол при основании равнобедренного треугольника AOB.
55 — Это угол между хордой AB и касательной. Угол ABO дополняет его до 90°.
70 — Это угол между касательными. Угол ABO вдвое меньше.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

16. Прямоугольник и описанная окружность

Диагональ прямоугольника — диаметр описанной окружности. Одна сторона равна диагонали, умноженной на синус, вторая находится по теореме Пифагора.

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,28. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Диагональ прямоугольника — диаметр описанной окружности: она равна 5
Диагональ и две стороны образуют прямоугольный треугольник. Сторона, лежащая против данного угла: 5 · 0,28 = 1,4
Вторая сторона по теореме Пифагора: √(25 − 1,96) = 4,8
Площадь: 1,4 · 4,8 = 6,72

Ответ: 6,72

Можно иначе. Через косинус: cos² = 1 − 0,28² = 0,9216, значит, косинус равен 0,96. Стороны прямоугольника — диагональ, умноженная на синус и на косинус: 1,4 и 4,8. Площадь 6,72.

Если получилось другое число

3,5 — Формула «половина произведения диагоналей на синус» берёт угол между диагоналями, а здесь дан угол между диагональю и стороной.
7 — Ты умножил сторону на диагональ. Площадь — произведение двух сторон: вторую найди по теореме Пифагора.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

17. Окружность с центром в середине стороны квадрата

Радиус — гипотенуза треугольника с катетами «сторона» и «половина стороны». Из теоремы Пифагора сразу получается квадрат стороны — это и есть площадь.

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 9√5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда OD — половина стороны, a2, а AD = a. Треугольник ADO прямоугольный, OA — его гипотенуза и радиус окружности
По теореме Пифагора: a² + a²4 = 405, то есть 5a²4 = 405
a² = 405 · 4 : 5 = 324 — это и есть площадь квадрата

Ответ: 324

Можно иначе. Саму сторону можно не находить: площадь квадрата — это a², а радиус в квадрате равен 54 от него. Значит, площадь — 45 от 405: 324.

Если получилось другое число

405 — Это квадрат радиуса. Радиус OA длиннее стороны: он гипотенуза треугольника ADO.
202,5 — Катеты треугольника ADO — сторона и половина стороны, а не две стороны.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

18. Площадь через периметр и радиус

Площадь треугольника равна половине периметра, умноженной на радиус вписанной окружности. Длина одной стороны в условии — лишнее данное.

Периметр треугольника равен 30, одна из сторон равна 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине периметра, умноженной на радиус вписанной окружности: S = 12 · P · r
S = 12 · 30 · 2 = 30

Ответ: 30

Можно иначе. Соедини центр окружности с вершинами: получатся три треугольника, у каждого высота — радиус 2, а основания — стороны. Их площади в сумме: 12 · 2 · (сумма сторон) = 12 · 2 · 30 = 30. Длина одной стороны для этого не нужна.

Если получилось другое число

60 — В формуле половина периметра: раздели на 2.
5 — Это площадь только одного из трёх треугольников с вершиной в центре окружности. Нужен весь периметр.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Факты, которые закрывают задание

Вписанный угол — половина дуги; центральный — вся дуга.
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Вписанный четырёхугольник: суммы противоположных углов по 180°.
Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны.
Прямоугольный треугольник: центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Вопросы и ответы

Чем вписанная окружность отличается от описанной?

Вписанная лежит внутри фигуры и касается всех её сторон. Описанная проходит через все вершины фигуры, а сама фигура лежит внутри неё.

Около любого ли четырёхугольника можно описать окружность?

Нет. Только если суммы его противоположных углов равны 180°. Около прямоугольника можно, около параллелограмма с острым углом — нельзя.

Что делать, если на чертеже не хватает линий?

Дорисовать. Чаще всего помогает радиус, проведённый в вершину или в точку касания, или отрезок, достраивающий треугольник на диаметре.

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Другие разборы

Задания и разборы составлены по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Тексты заданий наши; числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.