Задание 20 ОГЭ по математике: уравнения, системы и неравенства

Двадцатое задание открывает вторую часть. Это алгебра: уравнение, система или неравенство, которые не решаются «в одно действие», но сводятся к знакомому после одного приёма — разложения на множители, замены или сокращения.

Здесь впервые оценивают не ответ, а запись решения. Ниже — восемь типов из открытого банка ФИПИ с решением, оформленным так, как его ждёт эксперт.

На странице

Уравнение третьей степени
Уравнение четвёртой степени
Уравнение с одинаковыми корнями в обеих частях
Система уравнений
Неравенство с общей скобкой
Неравенство: произведение двух трёхчленов
Неравенство: дробь, которая сокращается
Неравенство с x в знаменателе
Как записывать решение
Вопросы и ответы

Коротко

За задание дают до 2 баллов. Проверяет эксперт по записанному решению: верный ответ без решения — 0 баллов.
Вторая часть нужна для пятёрки: в первой части только 19 баллов, а нужно 22.
Главный приём задания — разложение на множители: группировкой, по формуле разности квадратов, вынесением скобки.
Делить обе части на выражение с переменной нельзя: теряются корни или меняется знак неравенства.
В тренажёре решение пишут на бумаге, а для проверки вводят число или выбирают ответ. Запись решения сверяют с разбором сами.

Как решать задание 20 ОГЭ по математике: все типы

1. Уравнение третьей степени

Перенеси всё в одну сторону и сгруппируй слагаемые попарно: в обеих парах появится одна и та же скобка. После этого произведение равно нулю — приравнивай к нулю каждый множитель.

Решите уравнение x³ + 7x² = 4x + 28.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи наименьший корень.

Решение

Перенеси всё влево: x³ + 7x² − 4x − 28 = 0
Сгруппируй попарно: x²(x + 7) − 4(x + 7) = 0
Вынеси общий множитель: (x + 7)(x² − 4) = 0, то есть (x + 7)(x − 2)(x + 2) = 0
Корни: −7; −2; 2. Наименьший из них: −7

Ответ: −7

Можно иначе. Проверить разложение можно подстановкой: при x = −7 левая часть равна 0, правая — 0. Равенство верное, значит, −7 — корень; он меньше двух других.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

2 — Это наибольший корень. Для проверки просят наименьший.
−2 — Корней три: −7; −2; 2. Наименьший — тот, что левее всех на числовой прямой.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

2. Уравнение четвёртой степени

Обе части — квадраты. Перенеси и разложи как разность квадратов: получатся два квадратных уравнения. У одного из них корней может не быть — это нужно показать через дискриминант.

Решите уравнение x⁴ = (3x + 28)².

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи больший корень.

Решение

Перенеси всё влево и разложи как разность квадратов: (x²)² − (3x + 28)² = 0
(x² − (3x + 28))(x² + (3x + 28)) = 0
Первая скобка: x² − 3x − 28 = 0, корни −4 и 7
Вторая скобка: x² + 3x + 28 = 0, дискриминант 9 − 112 = −103 — отрицательный, корней нет
Корни уравнения: −4 и 7. Больший: 7

Ответ: 7

Можно иначе. Можно без формулы: если квадраты двух чисел равны, то сами числа равны или противоположны. Значит, x² = 3x + 28 или x² = −(3x + 28). Первое уравнение даёт −4 и 7, второе корней не имеет. Больший корень: 7.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

−4 — Это меньший корень. Для проверки просят больший.
−7 — Проверь знаки корней подстановкой в исходное уравнение.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

3. Уравнение с одинаковыми корнями в обеих частях

Корни сокращаются, но только там, где они существуют. Сначала запиши условие на выражение под корнем, потом реши оставшееся уравнение и отбрось корень, который условию не удовлетворяет.

Решите уравнение x² + 2x + √(1 − x) = √(1 − x) + 24.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи корень уравнения.

Решение

Корень √(1 − x) существует только при 1 − x ≥ 0, то есть при x ≤ 1. Это условие нужно записать до упрощения
При таких x корни в обеих частях одинаковы и сокращаются: x² + 2x = 24
x² + 2x − 24 = 0. Корни: −6 и 4
Условию x ≤ 1 удовлетворяет только −6

Ответ: −6

Можно иначе. Подставь оба числа в исходное уравнение. При x = 4 под корнем оказывается 1 − 4 = −3 — отрицательное число, такого корня не существует. При x = −6 под корнем 7, и равенство выполняется. Ответ: −6.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

4 — При x = 4 выражение под корнем отрицательно: 1 − 4 = −3. Этот корень посторонний.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

4. Система уравнений

Сложи или вычти уравнения так, чтобы одна переменная исчезла. В ответе — все пары: если x² равен числу, значений x два.

Решите систему уравнений: 4x² + y = 6 и 4x² − y = 2.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи значение y.

Решение

Сложи уравнения — y уничтожится: 8x² = 8
x² = 1, откуда x = 1 или x = −1
Подставь x² = 1 в первое уравнение: 4 + y = 6, y = 2
Решения: (1; 2) и (−1; 2). Значение y: 2

Ответ: 2

Можно иначе. Вырази y из первого уравнения: y = 6 − 4x². Подставь во второе: 4x² − (6 − 4x²) = 2, то есть 8x² = 8 и x² = 1. Тогда y = 6 − 4 = 2.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

1 — Это значение x. Для проверки просят y.
−2 — Проверь знак: подставь x² в первое уравнение и вырази y.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

5. Неравенство с общей скобкой

Не дели на скобку: её знак неизвестен. Перенеси всё влево, вынеси скобку за скобки и реши методом интервалов.

Решите неравенство (x − 6)² < √2 · (x − 6).

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

(−∞; 6) ∪ (6 + √2; +∞)
(6 − √2; 6 + √2)
(−∞; 6 + √2)
(6; 6 + √2)

Решение

Перенеси всё влево: (x − 6)² − √2 · (x − 6) < 0
Вынеси общий множитель: (x − 6)(x − 6 − √2) < 0
Корни: 6 и 6 + √2. Произведение отрицательно между ними: (6; 6 + √2)
Ответ: 4

Ответ: 4

Можно иначе. Обозначь t = x − 6. Неравенство t² < √2 · t — это t(t − √2) < 0, то есть 0 < t < √2. Возвращаясь к x: 6 < x < 6 + √2. Вариант 4.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

6. Неравенство: произведение двух трёхчленов

Найди корни каждого трёхчлена, отметь все четыре на прямой и расставь знаки: справа плюс, дальше они чередуются.

Решите неравенство (x² + x − 30)(x² + x − 6) ≤ 0.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

[−6; −3] ∪ [2; 5]
(−∞; −6] ∪ [−3; 2] ∪ [5; +∞)
[−3; 2]
[−6; 5]

Решение

Корни первого трёхчлена: −6 и 5. Корни второго: −3 и 2
Отметь на прямой четыре точки: −6, −3, 2, 5. Все закрашены, неравенство нестрогое
При больших x обе скобки положительны — справа стоит «+», дальше знаки чередуются: +, −, +, −, +
Минус — на отрезках [−6; −3] и [2; 5]. Ответ: 1

Ответ: 1

Можно иначе. Произведение не больше нуля, когда скобки разных знаков. Первая отрицательна между −6 и 5, вторая — между −3 и 2. Разные знаки там, где первая отрицательна, а вторая нет: от −6 до −3 и от 2 до 5. Вариант 1.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

7. Неравенство: дробь, которая сокращается

Сначала запиши, что знаменатель не равен нулю. После сокращения неравенство становится линейным — но выколотая точка остаётся выколотой.

Решите неравенство x² − 14x + 48x − 6 ≤ 0.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

(−∞; 8]
(6; 8]
[8; +∞)
(−∞; 6) ∪ (6; 8]

Решение

Знаменатель не равен нулю: x ≠ 6
Разложи числитель: x² − 14x + 48 = (x − 6)(x − 8)
При x ≠ 6 дробь сокращается: x − 8 ≤ 0, то есть x ≤ 8
Убери из этого луча точку 6: (−∞; 6) ∪ (6; 8]. Ответ: 4

Ответ: 4

Можно иначе. Методом интервалов: числитель равен нулю в точках 6 и 8, знаменатель — в точке 6. Множитель (x − 6) стоит и сверху, и снизу, поэтому в точке 6 знак не меняется, а сама она выколота. Слева от 8 дробь отрицательна — кроме точки 6, где её нет. Вариант 4.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

8. Неравенство с x в знаменателе

Умножать на x нельзя: его знак неизвестен. Перенеси всё влево, приведи к общему знаменателю и реши методом интервалов; ноль знаменателя всегда выколот.

Решите неравенство x ≤ 49x.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

(−∞; −7] ∪ (0; 7]
(−∞; −7] ∪ [0; 7]
[−7; 7]
[−7; 0) ∪ [7; +∞)

Решение

Перенеси всё влево и приведи к общему знаменателю: x² − 49x ≤ 0
Разложи числитель: (x − 7)(x + 7)x ≤ 0. Отметь на прямой точки −7, 0 и 7; ноль — выколотая точка
Знаки на промежутках чередуются: «−» при x < −7, «+» от −7 до 0, «−» от 0 до 7, «+» при x > 7
Нужны промежутки с минусом и точки, где числитель равен нулю: (−∞; −7] ∪ (0; 7]. Ответ: 1

Ответ: 1

Можно иначе. Проверь по одному числу из каждого промежутка. x = −8: слева −8, справа ≈ −6,12 — верно. x = −1: −1 ≤ −49 — неверно. x = 1: 1 ≤ 49 — верно. x = 8: неверно. Подходят первый и третий промежутки — вариант 1.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Как записывать решение

Пиши каждый шаг: эксперт оценивает ход решения, а не только последнюю строчку.
Ограничения — знаменатель не равен нулю, выражение под корнем неотрицательно — записывай в начале, а не вспоминай в конце.
В геометрии каждый шаг обосновывай: «как накрест лежащие при параллельных…», «по второму признаку подобия…».
Заканчивай словом «Ответ» и самим ответом — в том виде, в каком спрашивают.

Вопросы и ответы

Сколько баллов дают за верный ответ без решения?

Ноль. Во второй части оценивают записанное решение.

Что будет, если в решении одна арифметическая ошибка?

Если ход решения верный и с этой ошибкой оно доведено до конца, ставят 1 балл из 2.

Почему нельзя делить неравенство на выражение с x?

Потому что его знак зависит от x: при отрицательном значении знак неравенства нужно менять, при положительном — нет. Вместо деления всё переносят в одну сторону и раскладывают на множители.

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Другие разборы

Задания и разборы составлены по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Тексты заданий наши; числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.