100exams
Заниматься

Задание 22 ОГЭ по математике: график функции и параметр

В двадцать втором задании нужно построить график — с модулем, из кусков или с выколотой точкой — и по нему ответить на вопрос о прямой: при каких m прямая y = m или при каких k прямая y = kx имеет с графиком столько-то общих точек.

Половина балла здесь — сам график. Вторая половина — умение «двигать» прямую и считать пересечения.

На странице
  1. Функция с модулем и прямая y = m
  2. Кусочно-линейная функция и прямая y = m
  3. Дробь, которая сокращается, и прямая y = kx
  4. Как строить график на экзамене
  5. Каких типов здесь пока нет
  6. Вопросы и ответы

Коротко

Как решать задание 22 ОГЭ по математике: все типы

1. Функция с модулем и прямая y = m

Раскрой модуль на двух промежутках — получатся две параболы, склеенные в одной точке. Отметь вершины. Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, когда проходит через вершину.

Постройте график функции y = |x| · (x − 1) − 4x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

  1. m = −6,25; m = 2,25
  2. m = −6,25
  3. m < −6,25; m > 2,25
  4. −6,25 < m < 2,25

Решение

  1. Раскрой модуль. При x ≥ 0 модуль равен x: y = x2 − 5x. При x < 0 модуль равен −x: y = −x2 − 3x
  2. Справа от нуля — парабола ветвями вверх с вершиной (2,5; −6,25). Слева — парабола ветвями вниз с вершиной (−1,5; 2,25). В точке x = 0 обе дают 0: график не рвётся
  3. Прямая y = m горизонтальна. Между вершинами она пересекает график трижды, выше верхней и ниже нижней — один раз, а ровно через вершину — дважды
  4. Две общие точки при m = −6,25 и m = 2,25. Ответ: 1
110xy

Ответ: 1

Можно иначе. Двигай линейку снизу вверх параллельно оси x и считай пересечения. Ниже −6,25 — одно. На высоте −6,25 линейка касается нижней вершины: два. Между −6,25 и 2,25 — три. На высоте 2,25 касается верхней вершины: снова два. Выше — одно. Вариант 1.

Как это оценят на экзамене

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

2. Кусочно-линейная функция и прямая y = m

Построй каждое звено на своём промежутке и проверь, что в точках стыка значения совпадают. Получится ломаная с «горкой» и «ямкой»: прямая y = m имеет с ней ровно две общие точки, когда проходит через одну из них.

Постройте график функции, заданной так: y = x + 3 при x < 1; y = −3x + 7 при 1 ≤ x ≤ 3; y = 1,5x − 6,5 при x > 3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

  1. m < −2; m > 4
  2. −2 < m < 4
  3. m = 4
  4. m = −2; m = 4

Решение

  1. График состоит из трёх звеньев. Найди значения в точках стыка: при x = 1 первая и вторая формулы дают 4, при x = 3 вторая и третья дают −2. График не рвётся
  2. Первое звено поднимается до точки (1; 4), второе опускается до (3; −2), третье снова поднимается
  3. Прямая y = m ниже −2 или выше 4 пересекает график один раз, между ними — три раза, а на уровне излома — два
  4. Две общие точки при m = −2 и m = 4. Ответ: 4
110xy

Ответ: 4

Можно иначе. Достаточно знать, где функция растёт и где убывает: растёт до x = 1, убывает до x = 3, потом растёт. Значит, в точке x = 1 у неё «горка» высотой 4, в точке x = 3 — «ямка» глубиной −2. Горизонтальная прямая касается горки или ямки ровно при этих двух значениях m. Вариант 4.

Как это оценят на экзамене

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

3. Дробь, которая сокращается, и прямая y = kx

Разложи знаменатель и сократи дробь, записав, чему x не равен. Останется простая функция с выколотой точкой. Прямая y = kx имеет одну общую точку с графиком, когда вторая точка пересечения попадает в выколотую.

Постройте график функции y = 3x − 103x2 − 10x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: Такое значение k одно. Для проверки введи его.

Решение

  1. Разложи знаменатель: 3x2 − 10x = x(3x − 10). Он не равен нулю: x ≠ 0 и x ≠ 103
  2. При таких x дробь сокращается: y = 1x. График — гипербола без точки с абсциссой 103: выколота точка (103; 310)
  3. Прямая y = kx проходит через начало координат. При k ≤ 0 общих точек нет, при k > 0 их две — симметричные относительно начала координат
  4. Одна общая точка получится, только если вторая попадает в выколотую: 310 = k · 103, откуда k = 9100 = 0,09
110xy

Ответ: 0,09

Можно иначе. Реши уравнение 1x = kx: x2 = 1k. При k > 0 корней два, они противоположны. Один из них должен быть запрещённым числом 103: тогда 1k = 1009, k = 0,09. Вторая точка, с абсциссой −103, остаётся — она и есть единственная общая.

Как это оценят на экзамене

Если получилось другое число

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Как строить график на экзамене

Каких типов здесь пока нет

В открытом банке ФИПИ есть ещё кусочные функции из параболы и прямой или гиперболы, функции вида «парабола минус модуль» с тремя общими точками и дроби с модулем. Способ решения тот же: упростить на каждом промежутке, построить, двигать прямую.

Вопросы и ответы

Обязательно ли строить график, если ответ можно найти алгебраически?

Да. В условии сказано «постройте график», и критерии начинаются с него: без графика решение оценят в 0 баллов.

Как показать на графике выколотую точку?

Пустым кружком. Рядом подпиши её координаты — они нужны для ответа.

Что значит «ровно две общие точки»?

Что прямая и график пересекаются или касаются ровно в двух точках — не больше и не меньше. Касание вершины считается одной общей точкой.

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.
Пройти диагностику

Другие разборы

Задания и разборы составлены по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Тексты заданий наши; числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.