Задание 23 ОГЭ по математике: геометрия, задача на вычисление

Двадцать третье задание — геометрическая задача, в которой нужно найти длину, периметр или расстояние. Чертежа в условии нет: его делают сами.

По сложности она близка к заданиям 15–17 первой части, но каждый шаг нужно обосновать. Чаще всего задача держится на одном наблюдении — равнобедренном треугольнике или паре подобных.

На странице

Биссектриса в параллелограмме
Биссектрисы при боковой стороне трапеции
Подобие: отрезки на параллельных прямых
Подобие: прямая, параллельная стороне
Отрезок, параллельный основаниям трапеции
Высота из вершины прямого угла
Высота к гипотенузе
Две хорды и расстояния до них
Высота ромба делит сторону
Как записывать решение
Вопросы и ответы

Коротко

За задание дают до 2 баллов. Проверяет эксперт по записанному решению: верный ответ без решения — 0 баллов.
Вторая часть нужна для пятёрки: в первой части только 19 баллов, а нужно 22.
Чертёж обязателен: без него эксперту трудно следить за решением, а тебе — его придумать.
Задания 23–25 — геометрия второй части и тоже идут в счёт двух обязательных баллов по геометрии.
В тренажёре решение пишут на бумаге, а для проверки вводят число или выбирают ответ. Запись решения сверяют с разбором сами.

Как решать задание 23 ОГЭ по математике: все типы

1. Биссектриса в параллелограмме

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник: накрест лежащий угол равен половине угла. Отсюда боковая сторона равна отрезку, который биссектриса отсекла.

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 14, CK = 2.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи периметр.

Решение

Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AK
AK — биссектриса, поэтому углы KAD и BAK равны. Значит, в треугольнике ABK углы при стороне AK равны: он равнобедренный
AB = BK = 14. BC = BK + CK = 14 + 2 = 16
Периметр: 2 · (14 + 16) = 60

Ответ: 60

Можно иначе. Главное в задаче — увидеть равнобедренный треугольник: биссектриса угла параллелограмма всегда отсекает его. Отсюда боковая сторона равна отрезку BK, 14, а большая сторона — 16. Периметр: 14 + 16 + 14 + 16 = 60.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

36 — Боковая сторона AB равна отрезку BK, который прилегает к вершине B, а не CK.
30 — Это полупериметр. У параллелограмма две пары равных сторон.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

2. Биссектрисы при боковой стороне трапеции

Углы при боковой стороне в сумме дают 180°, их половины — 90°. Значит, биссектрисы пересекаются под прямым углом, а боковая сторона — гипотенуза.

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину AB.

Решение

Углы A и B трапеции — односторонние при параллельных основаниях и секущей AB: их сумма 180°
Биссектрисы делят их пополам, поэтому углы FAB и FBA в сумме дают 90°. Значит, угол AFB равен 180° − 90° = 90°
Треугольник AFB прямоугольный, AB — гипотенуза: AB² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676
AB = 26

Ответ: 26

Можно иначе. Запомни факт: биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, пересекаются под прямым углом. Тогда задача сводится к теореме Пифагора: катеты 24 и 10, гипотенуза 26.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

34 — AB — не сумма отрезков: треугольник AFB прямоугольный, и AB в нём гипотенуза.
676 — Это AB². Осталось извлечь корень из 676.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

3. Подобие: отрезки на параллельных прямых

Два треугольника с общей вершиной в точке пересечения подобны по двум углам. Отрезки одной прямой относятся так же, как параллельные стороны.

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 18, DC = 24, AC = 21.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину MC.

Решение

Треугольники AMB и CMD подобны по двум углам: углы при вершине M вертикальные, углы MAB и MCD накрест лежащие при параллельных AB и DC
Стороны пропорциональны: AM : MC = AB : DC = 18 : 24 = 3 : 4
Значит, AC делится на 3 + 4 = 7 частей, из них на MC приходится 4
MC = 21 · 47 = 12

Ответ: 12

Можно иначе. Обозначь MC = x, тогда AM = 21 − x. Из подобия: 21 − xx = 1824 = 34. Отсюда 4 · (21 − x) = 3x, 84 = 7x, x = 12.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

9 — Это AM. Отрезок MC прилегает к стороне DC и относится к AM так же, как DC к AB.
28 — Отношение 18 : 24 — это AM : MC, а не AC : MC. Весь отрезок AC — сумма двух частей.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

4. Подобие: прямая, параллельная стороне

Прямая, параллельная стороне, отсекает подобный треугольник. Обозначь искомый отрезок за x и запиши пропорцию — в ней участвует вся сторона, а не только её часть.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 5, AC = 25, NC = 20.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину BN.

Решение

Треугольники MBN и ABC подобны по двум углам: угол B общий, углы BNM и BCA соответственные при параллельных MN и AC
Обозначь BN = x, тогда BC = x + 20. Из подобия: xx + 20 = 525
25x = 5x + 100, то есть 20x = 100
x = 5

Ответ: 5

Можно иначе. Разность AC − MN = 20 «набегает» на отрезке NC = 20. На отрезке BN набегает сам MN = 5. Отрезки относятся так же, как эти длины: BN = 20 · 5 : 20 = 5.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

4 — Отношение 5 : 25 — это BN : BC, а не BN : NC. Сторона BC — это BN и NC вместе.
25 — Это вся сторона BC. Спрашивают её часть — BN.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

5. Отрезок, параллельный основаниям трапеции

Проведи через вершину прямую, параллельную боковой стороне: трапеция разобьётся на параллелограмм и треугольник. В треугольнике работает подобие.

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 24, BC = 4, CF : DF = 1 : 4.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину EF.

Решение

Проведи через вершину C прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает основание AD в точке K, а отрезок EF — в точке L
В четырёхугольниках ABCK и EBCL противоположные стороны попарно параллельны: это параллелограммы. Поэтому AK = BC = 4 и EL = BC = 4, а KD = AD − AK = 24 − 4 = 20
Треугольники CLF и CKD подобны по двум углам: угол C у них общий, а углы CLF и CKD соответственные при параллельных прямых EF и AD и секущей CK. Значит, LF : KD = CF : CD = 1 : 5
LF = 20 · 15 = 4
EF = EL + LF = 4 + 4 = 8

Ответ: 8

Можно иначе. Длина отрезка, параллельного основаниям, меняется равномерно: от 4 у основания BC до 24 у основания AD. Точка F прошла 15 пути от C к D, значит, к 4 прибавилось 15 от разницы 20: 4 + 4 = 8.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

20 — Отношение 1 : 4 считается от точки C: отрезок CF прилегает к меньшему основанию BC.
14 — Это средняя линия. Отрезок EF делит боковую сторону не пополам, а в данном отношении.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

6. Высота из вершины прямого угла

Высота делит прямоугольный треугольник на два, подобных исходному. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию.

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 112, AC = 175.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину AB.

Решение

Треугольники ABH и ACB подобны: оба прямоугольные, угол A у них общий
Из подобия: ABAC = AHAB, то есть AB² = AH · AC
AB² = 112 · 175 = 19600
AB = 140

Ответ: 140

Можно иначе. Через косинус угла A: в треугольнике ABH он равен AHAB, в треугольнике ABC — ABAC. Это один и тот же угол, поэтому AB · AB = AH · AC = 19600, и AB = 140.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

19600 — Это AB². Осталось извлечь корень из 19600.
63 — Это отрезок HC. Катет AB находят из подобия: AB² = AH · AC.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

7. Высота к гипотенузе

Запиши площадь двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой — и приравняй.

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи высоту.

Решение

Гипотенуза по теореме Пифагора: √(9 + 16) = 5
Площадь треугольника через катеты: 12 · 3 · 4 = 6
Та же площадь через гипотенузу и высоту к ней: 12 · 5 · h = 6
h = 12 : 5 = 2,4

Ответ: 2,4

Можно иначе. Короткая формула для этого случая: высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. 3 · 4 : 5 = 2,4. На экзамене её нужно вывести — через площадь, как в решении.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

6 — Это площадь треугольника. Раздели удвоенную площадь на гипотенузу.
1,2 — Площадь равна половине произведения гипотенузы на высоту: высота — это удвоенная площадь, делённая на гипотенузу.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

8. Две хорды и расстояния до них

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Для каждой хорды получается прямоугольный треугольник с гипотенузой-радиусом: из первого находят радиус, из второго — искомое.

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 66, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 56 и 39.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину хорды CD.

Решение

Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Радиус, половина хорды и этот перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник
Для хорды AB: половина равна 33, расстояние 56. Радиус: √(1089 + 3136) = 65
Для хорды CD: радиус 65, расстояние 39. Половина хорды: √(4225 − 1521) = 52
CD = 2 · 52 = 104

Ответ: 104

Можно иначе. Обе хорды связаны одним радиусом. Запиши равенство его квадратов: 33² + 56² = 52² + 39² — обе суммы равны 4225. Из этого равенства и находится неизвестная величина: 104.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

52 — Это половина хорды. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам — удвой.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

9. Высота ромба делит сторону

Сторона ромба — сумма двух отрезков. Высота, сторона и отрезок при вершине образуют прямоугольный треугольник.

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 20 и CH = 5. Найдите высоту ромба.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи высоту.

Решение

Сторона ромба: CD = DH + CH = 20 + 5 = 25. Все стороны ромба равны, поэтому AD = 25
AH — высота, значит, треугольник ADH прямоугольный с гипотенузой AD
По теореме Пифагора: AH² = 25² − 20² = 625 − 400 = 225
AH = 15

Ответ: 15

Можно иначе. Вся задача — в одном прямоугольном треугольнике ADH. Его гипотенуза — сторона ромба, 25, один катет — отрезок DH, 20. Второй катет и есть высота: стороны 20, 15 и 25 образуют известную тройку.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

25 — Это сторона ромба. Высота — катет треугольника ADH, она короче стороны.
225 — Это квадрат высоты. Осталось извлечь корень из 225.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Как записывать решение

Пиши каждый шаг: эксперт оценивает ход решения, а не только последнюю строчку.
Ограничения — знаменатель не равен нулю, выражение под корнем неотрицательно — записывай в начале, а не вспоминай в конце.
В геометрии каждый шаг обосновывай: «как накрест лежащие при параллельных…», «по второму признаку подобия…».
Заканчивай словом «Ответ» и самим ответом — в том виде, в каком спрашивают.

Вопросы и ответы

Нужно ли доказывать подобие, если оно очевидно?

Да. Достаточно одной строчки: какие углы равны и почему. Без неё шаг считается необоснованным, и балл снижают.

Можно ли пользоваться формулами, которых нет в школьной программе?

Лучше не надо. Если используешь факт, которого нет в учебнике, его придётся доказать — иначе шаг не засчитают.

Идёт ли задание 23 в счёт геометрии?

Да. Геометрия — это задания 15–19 первой части и 23–25 второй.

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Другие разборы

Задания и разборы составлены по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Тексты заданий наши; числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.