Задание 21 ОГЭ по математике: текстовые задачи

Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие 60 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 100 км — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи среднюю скорость в км/ч.

Решение

1. Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Это не среднее арифметическое скоростей
2. Время на участках: 120 : 120 = 1 ч, 60 : 60 = 1 ч, 100 : 50 = 2 ч
3. Весь путь: 120 + 60 + 100 = 280 км. Всё время: 1 + 1 + 2 = 4 ч
4. 280 : 4 = 70

Ответ: 70

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 112 км/ч, а вторую — со скоростью 84 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи среднюю скорость в км/ч.

Решение

1. Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Обозначь половину пути буквой S: весь путь равен 2S
2. Время: S112 + S84 = S · (112 + 84)112 · 84 = 196S9408
3. Средняя скорость: 2S : 196S9408 = 2 · 9408196 = 96

Ответ: 96

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 98 — Это среднее арифметическое скоростей. На медленную половину уходит больше времени, поэтому средняя скорость меньше.

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 50 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, большей скорости первого на 15 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи скорость первого автомобиля в км/ч.

Решение

1. Пусть скорость первого x км/ч, а весь путь равен 2S (половина — S). Первый был в пути 2S : x часов
2. Второй: S50 + Sx + 15. Времена равны: 2Sx = S50 + Sx + 15
3. Раздели на S и умножь на 50x(x + 15): 100(x + 15) = x(x + 15) + 50x, то есть x² − 35x − 1500 = 0
4. Дискриминант: 1225 + 6000 = 7225 = 85². Корни: x = 35 − 852 = −25 и x = 35 + 852 = 60
5. Скорость не бывает отрицательной, подходит только x = 60

Ответ: 60

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 75 — Это скорость второго автомобиля на второй половине пути. Первый ехал медленнее на 15 км/ч.
• 62,5 — Среднюю скорость нельзя считать как среднее арифметическое: половины пути заняли разное время.

Два автомобиля одновременно отправляются в 450-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи скорость первого автомобиля в км/ч.

Решение

1. Пусть скорость первого x км/ч, тогда второго — (x − 15) км/ч
2. Второй был в пути на 1 ч дольше: 450x − 15 − 450x = 1
3. Умножь на x(x − 15): 450x − 450(x − 15) = x(x − 15), то есть x² − 15x − 6750 = 0
4. Дискриминант: 225 + 27000 = 27225 = 165². Корни: x = 15 − 1652 = −75 и x = 15 + 1652 = 90
5. Скорость не бывает отрицательной, подходит только x = 90. Проверка: 450 : 75 − 450 : 90 = 6 − 5 = 1

Ответ: 90

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 75 — Это скорость второго автомобиля. Спрашивают про первый — он быстрее.

Два велосипедиста одновременно отправляются в 90-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи его скорость в км/ч.

Решение

1. Пусть скорость второго x км/ч, тогда первого — (x + 8) км/ч
2. Второй был в пути на 4 ч дольше: 90x − 90x + 8 = 4
3. Умножь на x(x + 8): 720 = 4x(x + 8), то есть 4x² + 32x − 720 = 0
4. Раздели на 4: x² + 8x − 180 = 0. Дискриминант: 64 + 720 = 784 = 28². Корни: x = −8 − 282 = −18 и x = −8 + 282 = 10
5. Скорость не бывает отрицательной, подходит только x = 10. Проверка: 90 : 10 − 90 : 18 = 9 − 5 = 4

Ответ: 10

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 18 — Это скорость первого велосипедиста. Вторым к финишу пришёл тот, кто ехал медленнее.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 96 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи эту скорость в км/ч.

Решение

1. Пусть скорость на пути из В в А равна x км/ч, тогда из А в В он ехал со скоростью (x − 8) км/ч
2. Время туда равно времени обратно вместе с остановкой: 96x − 8 = 96x + 2
3. Умножь на x(x − 8): 768 = 2x(x − 8), то есть 2x² − 16x − 768 = 0
4. Раздели на 2: x² − 8x − 384 = 0. Дискриминант: 64 + 1536 = 1600 = 40². Корни: x = 8 − 402 = −16 и x = 8 + 402 = 24
5. Скорость не бывает отрицательной, подходит только x = 24. Проверка: туда 96 : 16 = 6 ч, обратно 96 : 24 + 2 = 4 + 2 = 6 ч

Ответ: 24

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 16 — Это скорость на пути из А в В. Обратно он ехал на 8 км/ч быстрее.

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 140 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи это расстояние в километрах.

Решение

1. Пусть второй ехал до встречи t часов. Первый был в движении на 28 минут меньше: t − 2860 часа
2. Вместе они проехали всё расстояние: 15(t − 2860) + 20t = 140
3. 35t = 140 + 7, откуда t = 147 : 35 = 4,2 ч
4. Второй проехал 20 · 4,2 = 84 км

Ответ: 84

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 56 — Это расстояние от города первого велосипедиста. Спрашивают от города второго.
• 80 — Первый стоял 28 минут: второй успел проехать больше, чем при движении без остановок.

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 7 км/ч меньше скорости второго.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи скорость первого бегуна в км/ч.

Решение

1. Пусть скорость первого x км/ч. За час он пробежал x км, и до конца круга осталось 1 км: длина круга равна x + 1
2. Второй бежит со скоростью x + 7 и пробежал круг за 60 − 20 = 40 минут, то есть за 4060 часа
3. Длина круга одна и та же: (x + 7) · 4060 = x + 1
4. 40(x + 7) = 60x + 60, откуда 20x = 220 и x = 11

Ответ: 11

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 18 — Это скорость второго бегуна. Спрашивают про первого — он медленнее.
• 12 — Это длина круга. Скорость первого меньше: за час он не добежал до конца круга.

Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ из 140 деталей на 3 ч быстрее, чем второй рабочий — такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи, сколько деталей в час делает первый рабочий.

Решение

1. Пусть первый делает x деталей в час, тогда второй — (x − 6)
2. Второй работает на 3 ч дольше: 140x − 6 − 140x = 3
3. Умножь на x(x − 6): 840 = 3x(x − 6), то есть 3x² − 18x − 840 = 0
4. Раздели на 3: x² − 6x − 280 = 0. Дискриминант: 36 + 1120 = 1156 = 34². Корни: x = 6 − 342 = −14 и x = 6 + 342 = 20
5. Число деталей в час не бывает отрицательным, подходит только x = 20. Проверка: 140 : 14 − 140 : 20 = 10 − 7 = 3

Ответ: 20

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 14 — Это производительность второго рабочего. Спрашивают про первого — он быстрее.

Первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 75 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба?

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи, сколько литров в минуту пропускает вторая труба.

Решение

1. Пусть вторая труба пропускает x литров в минуту, тогда первая — (x − 10)
2. Первая заполняет резервуар на 10 мин дольше: 75x − 10 − 75x = 10
3. Умножь на x(x − 10): 750 = 10x(x − 10), то есть 10x² − 100x − 750 = 0
4. Раздели на 10: x² − 10x − 75 = 0. Дискриминант: 100 + 300 = 400 = 20². Корни: x = 10 − 202 = −5 и x = 10 + 202 = 15
5. Труба не может пропускать отрицательное число литров, подходит только x = 15. Проверка: 75 : 5 − 75 : 15 = 15 − 5 = 10

Ответ: 15

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 5 — Это первая труба. Спрашивают про вторую — она пропускает больше.

Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 12 км, затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи собственную скорость баржи в км/ч.

Решение

1. Пусть собственная скорость x км/ч. По течению баржа идёт со скоростью x + 4, против течения — x − 4
2. Время в пути: 56x + 4 + 12x − 4 = 6
3. Умножь на (x + 4)(x − 4): 56(x − 4) + 12(x + 4) = 6(x² − 16), то есть 6x² − 68x + 80 = 0
4. Раздели на 2: 3x² − 34x + 40 = 0. Дискриминант: 1156 − 480 = 676 = 26². Корни: x = 34 − 266 = 43 и x = 34 + 266 = 10
5. Чтобы идти против течения, баржа должна быть быстрее него: x > 4. Подходит только x = 10. Проверка: 56 : 14 + 12 : 6 = 4 + 2 = 6

Ответ: 10

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 14 — Это скорость по течению. Собственная скорость меньше на скорость течения.
• 6 — Это скорость против течения. Собственная скорость больше на скорость течения.

Моторная лодка прошла против течения реки 180 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи скорость лодки в км/ч.

Решение

1. Пусть скорость лодки в неподвижной воде x км/ч. Против течения она идёт со скоростью x − 3, по течению — x + 3
2. Против течения дольше на 5 ч: 180x − 3 − 180x + 3 = 5
3. Умножь на (x − 3)(x + 3): 180(x + 3) − 180(x − 3) = 5(x² − 9), то есть 1080 = 5x² − 45
4. x² = 225, откуда x = 15 или x = −15. Скорость не бывает отрицательной: x = 15

Ответ: 15

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 12 — Это скорость против течения. Собственная скорость больше на скорость течения.
• 18 — Это скорость по течению. Собственная скорость меньше на скорость течения.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 22 часа после отплытия из него.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи скорость течения в км/ч.

Решение

1. В движении теплоход был 22 − 3 = 19 ч
2. Пусть скорость течения x км/ч: 17619 + x + 17619 − x = 19
3. Умножь на (19 + x)(19 − x): 176(19 − x) + 176(19 + x) = 19(361 − x²), то есть 6688 = 6859 − 19x²
4. x² = 9, откуда x = 3 или x = −3. Скорость течения положительна: x = 3

Ответ: 3

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 19 — Это скорость теплохода из условия. Спрашивают скорость течения.

Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 40 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи скорость лодки в км/ч.

Решение

1. Плот плывёт со скоростью течения: 40 км он проплыл за 40 : 4 = 10 ч
2. Лодка вышла на час позже, значит, была в пути 10 − 1 = 9 ч
3. Пусть её скорость x км/ч: 48x + 4 + 48x − 4 = 9
4. Умножь на (x + 4)(x − 4): 96x = 9(x² − 16), то есть 9x² − 96x − 144 = 0
5. Раздели на 3: 3x² − 32x − 48 = 0. Дискриминант: 1024 + 576 = 1600 = 40². Корни: x = 32 − 406 = −43 и x = 32 + 406 = 12
6. Второй корень отрицательный, а скорость не бывает отрицательной: x = 12

Ответ: 12

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 10 — Это время, которое плыл плот. Спрашивают скорость лодки.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 41 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч, за 40 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину поезда в метрах.

Решение

1. Нужна скорость поезда относительно пешехода. Пешеход идёт в ту же сторону, поэтому скорости вычитаются: 41 − 5 = 36 км/ч
2. Переведи в метры в секунду: 36 · 1000 : 3600 = 10 м/с
3. За 40 с мимо пешехода проходит весь поезд: 10 · 40 = 400

Ответ: 400

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 1440 — Скорость в км/ч нужно перевести в м/с: умножить на 1000 и разделить на 3600.

Имеются два сосуда, содержащие 20 кг и 4 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 77% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи массу кислоты в килограммах.

Решение

1. Пусть концентрации растворов x% и y%. Слили всё: 20x + 4y = 77 · 24 = 1848
2. Слили поровну — концентрация равна среднему: x + y = 2 · 61 = 122
3. Подставь y = 122 − x в первое уравнение: 20x + 4 · (122 − x) = 1848, откуда 16x = 1360 и x = 85
4. Кислоты в первом растворе: 20 · 0,85 = 17

Ответ: 17

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 85 — Это концентрация первого раствора в процентах. Спрашивают массу кислоты в нём.
• 1,48 — Это кислота во втором растворе. Спрашивают про первый.

Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 20%. Сколько свежих фруктов нужно, чтобы получить 45 кг высушенных? Ответ дайте в килограммах.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи массу в килограммах.

Решение

1. При сушке уходит только вода. Масса «сухого вещества» — всего, что не вода, — не меняется
2. В высушенных фруктах сухого вещества 100% − 20% = 80%: 45 · 0,8 = 36 кг
3. В свежих оно составляет 100% − 80% = 20% массы
4. 36 : 0,2 = 180

Ответ: 180

Как это оценят на экзамене

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
• 1 балл — уравнение по условию составлено верно, но решение не доведено до конца или содержит ошибки; либо решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
• 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

• 36 — Это масса сухого вещества. Осталось найти, какой массе фруктов она соответствует.