Задание 15 ОГЭ по математике: треугольники

Пятнадцатое задание открывает геометрию первой части. В нём всегда треугольник и одно-два действия: найти угол, сторону, площадь или значение синуса.

Типов много — девятнадцать, — но каждый опирается на один факт. Ниже они собраны в том порядке, в каком их удобно повторять: углы, отрезки в треугольнике, прямоугольный треугольник, площадь.

На странице

Третий угол треугольника
Острые углы прямоугольного треугольника
Равнобедренный треугольник
Внешний угол
Внешний угол, когда известен только угол при той же вершине
Биссектриса
Биссектриса и равные отрезки
Высота
Медиана
Медиана равна половине стороны
Средняя линия
Теорема Пифагора
Площадь по двум катетам
Площадь по стороне и высоте
Площадь через синус
Синус и косинус
Тангенс
Сторона по синусу, косинусу или тангенсу
Равносторонний треугольник
Что повторить перед экзаменом
Вопросы и ответы

Коротко

Чертёж на экзамене не обязан быть в масштабе: измерять по нему нельзя.
Сумма углов треугольника — 180°. На этом держится половина типов.
Задания 15–19 — геометрия. По рекомендациям Рособрнадзора 2026 года для тройки нужно набрать не меньше 8 баллов за всю работу, из них не меньше 2 — за геометрию.
За верный ответ дают 1 балл. Частично верных ответов в первой части нет.

Как решать задание 15 ОГЭ по математике: все типы

1. Третий угол треугольника

Известны два угла. Сложи их и вычти из 180°.

В треугольнике ABC угол A равен 65°, угол B равен 27°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°
Два угла вместе: 65° + 27° = 92°
Угол C: 180° − 92° = 88°

Ответ: 88

Можно иначе. Представь развёрнутый угол в 180°. Два угла уже заняли 92°, третьему остаётся 88°.

Если получилось другое число

92 — Это сумма двух углов. Осталось вычесть её из 180°.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

2. Острые углы прямоугольного треугольника

Один угол прямой, поэтому на два острых остаётся 90°. Вычитай из 90°, а не из 180°.

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 59°. Найдите другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Сумма углов треугольника 180°, из них 90° — прямой угол. На два острых остаётся 90°
90° − 59° = 31°

Ответ: 31

Можно иначе. Можно и в лоб: 180° − 90° − 59° = 31°. Полезно запомнить: острые углы прямоугольного треугольника в сумме всегда дают 90°.

Если получилось другое число

121 — Ты не вычел прямой угол: он тоже входит в сумму 180°.
59 — Острые углы равны только в равнобедренном прямоугольном треугольнике — когда оба по 45°.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

3. Равнобедренный треугольник

Углы при основании равны. Если дан угол при вершине — вычти его из 180° и раздели пополам. Если дан угол при основании — удвой его и вычти из 180°.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол A равен 66°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: угол C тоже 66°
Два угла при основании вместе: 66° + 66° = 132°
Угол B: 180° − 132° = 48°

Ответ: 48

Можно иначе. Сумма углов 180°. Угол A встречается дважды — как A и как равный ему C: 180 − 2 · 66 = 48.

Если получилось другое число

114 — При основании два равных угла по 66°. Вычесть из 180° нужно оба.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

4. Внешний угол

Внешний угол равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Третий угол для этого искать не нужно.

В треугольнике ABC угол A равен 67°, угол B равен 44°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним
Не смежные с ним — углы A и B: 67° + 44°
Внешний угол при C равен 111°

Ответ: 111

Можно иначе. Можно через внутренний угол: C = 180° − 67° − 44° = 69°. Внешний смежен с ним: 180° − 69° = 111°.

Если получилось другое число

69 — Это внутренний угол C. Внешний угол — смежный с ним.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

5. Внешний угол, когда известен только угол при той же вершине

Внешний угол смежен с внутренним: вместе они дают 180°. Достаточно одного вычитания.

В треугольнике ABC угол C равен 119°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с его внутренним углом при той же вершине
Смежные углы в сумме дают 180°: 180° − 119° = 61°

Ответ: 61

Можно иначе. Продли сторону AC за точку C. Продолжение и сторона CB образуют внешний угол; вместе с углом C он составляет развёрнутый угол в 180°. На него остаётся 61°.

Если получилось другое число

119 — Это внутренний угол C. Внешний — смежный с ним.
241 — Внешний угол дополняет внутренний до 180°, а не до 360°.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

6. Биссектриса

Биссектриса делит угол пополам. Раздели данный угол на 2.

В треугольнике ABC угол BAC равен 74°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Биссектриса делит угол пополам
Угол BAD — половина угла BAC: 74° : 2 = 37°

Ответ: 37

Можно иначе. Биссектриса AD разрезает угол A на два равных угла: BAD и DAC. Вместе они дают 74°, значит, каждый равен 37°.

Если получилось другое число

74 — Это весь угол BAC. Биссектриса делит его на две равные части.
148 — Угол BAD — часть угла BAC, он меньше его: дели на 2, а не умножай.
106 — Сумма углов здесь не нужна: BAD — просто половина угла BAC.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

7. Биссектриса и равные отрезки

Если биссектриса равна отрезку стороны, получается равнобедренный треугольник: два его угла равны. А сама биссектриса удваивает один из них. Выходит, что один угол треугольника вдвое больше другого.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK, причём AK = CK. Угол C равен 38°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Решение

Треугольник AKC равнобедренный (AK = CK), поэтому угол KAC равен углу C: 38°
AK — биссектриса, значит, весь угол A вдвое больше: 2 · 38° = 76°
Угол B: 180° − 76° − 38° = 66°

Ответ: 66

Можно иначе. Обозначь угол C буквой x. Из равнобедренного треугольника AKC угол KAC тоже x, а из-за биссектрисы весь угол A равен 2x. Тогда угол B равен 180° − 3x = 180° − 3 · 38° = 66°.

Если получилось другое число

104 — Угол A вдвое больше угла KAC: биссектриса делит его пополам. Вычесть нужно 76° и 38°.
76 — Это угол A. Спрашивают угол B.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

8. Высота

Высота образует со стороной прямой угол, и получается маленький прямоугольный треугольник. Его острые углы в сумме дают 90°.

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, угол BAC равен 63°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение

Высота перпендикулярна стороне: в треугольнике ABH угол H прямой
Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°: угол ABH = 90° − 63° = 27°

Ответ: 27

Можно иначе. Смотри только на треугольник ABH — остальной чертёж не нужен. Его углы: 63° при вершине A, 90° при вершине H. Третьему остаётся 180° − 90° − 63° = 27°.

Если получилось другое число

117 — В треугольнике ABH есть ещё прямой угол при вершине H — его тоже нужно вычесть.
63 — Угол ABH не равен углу A: вместе они дают 90°.
31,5 — BH — высота, а не биссектриса: она ничего не делит пополам.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

9. Медиана

Медиана приходит в середину стороны. Длину самой медианы в таких задачах дают лишней — нужна только половина стороны.

В треугольнике ABC сторона AC равна 6, BM — медиана, BM = 6. Найдите AM.

Решение

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны: M — середина AC
AM — половина стороны AC: 6 : 2 = 3

Ответ: 3

Можно иначе. Длина самой медианы BM здесь лишняя — её дали, чтобы запутать. Нужно только то, что M делит AC пополам: AM = MC = 3.

Если получилось другое число

6 — Это длина медианы BM. Спрашивают отрезок AM — половину стороны AC.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

10. Медиана равна половине стороны

Если медиана равна половине стороны, к которой проведена, угол напротив этой стороны прямой. Дальше острые углы дополняют друг друга до 90°.

В треугольнике ABC проведена медиана BM, причём BM = AM = MC. Угол C равен 58°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Решение

Треугольники ABM и CBM равнобедренные: AM = BM и MC = BM. Значит, угол ABM равен углу A, а угол CBM равен углу C
Угол B состоит из этих двух углов, то есть равен сумме углов A и C. Но сумма всех трёх углов 180°, поэтому угол B равен 90°
Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°: угол A равен 90° − 58° = 32°

Ответ: 32

Можно иначе. Точка M одинаково удалена от A, B и C — это центр окружности, описанной около треугольника, а AC — её диаметр. Угол B опирается на диаметр, значит, он прямой, и угол A равен 90° − 58° = 32°.

Если получилось другое число

58 — Углы A и C равны только в равнобедренном треугольнике. Здесь прямой угол при вершине B, и углы A и C дополняют друг друга до 90°.
64 — Это угол BMC. Спрашивают угол A треугольника ABC.
122 — Угол B здесь прямой: его тоже нужно вычесть.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

11. Средняя линия

Отрезок, соединяющий середины двух сторон, вдвое короче третьей стороны и параллелен ей.

Точки M и N — середины сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AC равна 8. Найдите MN.

Решение

Отрезок, соединяющий середины двух сторон, — средняя линия треугольника
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине
MN = 8 : 2 = 4

Ответ: 4

Можно иначе. Треугольник MBN — уменьшенная вдвое копия треугольника ABC: все его стороны вдвое короче. Поэтому MN вдвое короче AC: 4.

Если получилось другое число

16 — Средняя линия вдвое короче стороны, а не длиннее.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

12. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Ищешь гипотенузу — складывай квадраты, ищешь катет — вычитай.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 26, BC = 24. Найдите AC.

Решение

AB — гипотенуза, BC и AC — катеты
По теореме Пифагора: AC² = AB² − BC² = 676 − 576 = 100
AC = √100 = 10

Ответ: 10

Можно иначе. Гипотенуза 26 и катет 24 — это известная тройка сторон: второй катет равен 10. Проверка: 576 + 100 = 676.

Если получилось другое число

2 — Вычитают не стороны, а их квадраты: из квадрата гипотенузы — квадрат катета.
100 — Это квадрат катета. Осталось извлечь корень из 100.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

13. Площадь по двум катетам

Катеты перпендикулярны, поэтому один — основание, другой — высота. Перемножь и раздели на 2.

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 3. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Катеты перпендикулярны: один можно принять за основание, второй — за высоту
S = 12 · 18 · 3 = 27

Ответ: 27

Можно иначе. Дострой треугольник до прямоугольника со сторонами 18 и 3: его площадь 54. Диагональ делит прямоугольник на два таких треугольника, поэтому площадь одного — 27.

Если получилось другое число

54 — Это площадь прямоугольника с такими сторонами. Треугольник — его половина.
21 — Площадь — половина произведения катетов, а не их сумма.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

14. Площадь по стороне и высоте

Половина произведения стороны на высоту, проведённую именно к этой стороне.

В треугольнике ABC сторона AC равна 6, а высота BH, проведённая к ней, равна 11. Найдите площадь треугольника.

Решение

Площадь треугольника: S = 12 · сторона · высота к ней
S = 12 · 6 · 11
S = 33

Ответ: 33

Можно иначе. Прямоугольник со сторонами 6 и 11 имеет площадь 66. Треугольник с таким основанием и высотой занимает половину: 33.

Если получилось другое число

66 — Ты умножил сторону на высоту и забыл поделить на 2.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

15. Площадь через синус

Даны две стороны и синус угла между ними. Перемножь всё и раздели на 2.

В треугольнике ABC сторона AB равна 24, сторона BC равна 17, sin ∠ABC = 56. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника — половина произведения двух сторон на синус угла между ними: S = 12 · AB · BC · sin B
S = 12 · 24 · 17 · 56
24 · 17 = 408; 408 · 56 = 340; половина — 170

Ответ: 170

Можно иначе. Откуда формула: высота из вершины A на сторону BC равна AB · sin B = 24 · 56 = 20. Дальше обычная площадь: половина стороны BC на высоту — 12 · 17 · 20 = 170.

Если получилось другое число

340 — В формуле есть множитель 12: раздели результат на 2.
204 — Потерялся синус: без него формула верна только для прямого угла.
408 — Произведение сторон нужно умножить на синус угла и разделить на 2.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

16. Синус и косинус

Синус — противолежащий катет, делённый на гипотенузу; косинус — прилежащий, делённый на гипотенузу. Сначала найди на чертеже угол, потом смотри, какой катет лежит напротив.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 24, AB = 25. Найдите sin B.

Решение

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB
sin B = 2425 = 0,96

Ответ: 0,96

Можно иначе. Найди на чертеже угол B. Катет AC лежит напротив — он противолежащий. Дели его на гипотенузу: 24 : 25 = 0,96.

Если получилось другое число

0,28 — Ты взял другой катет. Для синуса нужен противолежащий углу B.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

17. Тангенс

Тангенс — противолежащий катет, делённый на прилежащий. Гипотенуза не участвует.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 8, AC = 3. Найдите tg B.

Решение

Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему
Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC
tg B = 38 = 0,375

Ответ: 0,375

Можно иначе. Гипотенуза для тангенса не нужна — только два катета. Тот, что напротив угла B, дели на тот, что выходит из его вершины: 3 : 8 = 0,375.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

18. Сторона по синусу, косинусу или тангенсу

Запиши определение функции как дробь из двух сторон, подставь известную сторону и найди вторую. Удобно считать «частями»: знаменатель дроби показывает, на сколько частей делится известная сторона.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 35, AB = 45. Найдите AC.

Решение

Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin B = ACAB
Подставь известное: 35 = AC45
AC = 45 · 35 = 27

Ответ: 27

Можно иначе. Дробь 35 говорит: на каждые 5 частей стороны AB приходится 3 части стороны AC. В AB таких частей 45 : 5 = 9, значит, AC = 3 · 9 = 27.

Если получилось другое число

75 — Дробь перевернулась: AC = AB · sin B, то есть умножать нужно на 35.
9 — Это одна часть. В стороне AC таких частей 3.
45 — Это сторона AB из условия. Спрашивают AC.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

19. Равносторонний треугольник

Высота, медиана и биссектриса в нём совпадают и равны стороне, умноженной на √3 и делённой на 2. Корни в условии подобраны так, что √3 исчезает.

Сторона равностороннего треугольника равна 4√3. Найдите медиану этого треугольника.

Решение

Высота равностороннего треугольника со стороной a равна a√32. В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают.
Подставь a = 4√3: 4√3 · √32
√3 · √3 = 3, поэтому 4 · 32 = 6

Ответ: 6

Можно иначе. Высота делит треугольник на два прямоугольных: гипотенуза 4√3, один катет — половина стороны, 2√3. По теореме Пифагора квадрат высоты равен (4√3)² − (2√3)² = 48 − 12 = 36. Корень из 36 — это 6.

Если получилось другое число

12 — В формуле a√32 есть деление на 2.
2 — √3 · √3 = 3: корни не сокращаются, а перемножаются.
4 — Высота не равна стороне без корня: подставь сторону в формулу целиком, вместе с √3.

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Что повторить перед экзаменом

Сумма углов треугольника 180°, острых углов прямоугольного — 90°.
Тройки сторон прямоугольных треугольников: 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17 и кратные им.
Определения синуса, косинуса и тангенса острого угла.
Три формулы площади: через высоту, через два катета, через синус.

Вопросы и ответы

Можно ли измерять углы и стороны по чертежу?

Нет. Чертёж в задании схематичный: он показывает, что где находится, но не соблюдает размеры. Ответ нужно вычислять.

Как не перепутать синус и косинус?

Найди на чертеже угол, о котором спрашивают. Катет напротив него — для синуса, катет, который выходит из его вершины, — для косинуса. В обоих случаях делят на гипотенузу.

Сколько баллов по геометрии нужно для тройки?

По рекомендациям Рособрнадзора 2026 года для тройки нужно набрать не меньше 8 баллов за всю работу, из них не меньше 2 — за задания по геометрии: это номера 15–19 в первой части и 23–25 во второй. Окончательную шкалу утверждает регион, и на 2027 год рекомендации ещё не выпущены.

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Другие разборы

Задания и разборы составлены по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Тексты заданий наши; числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.