100exams
Заниматься

Задание 24 ОГЭ по математике: геометрия, задача на доказательство

В двадцать четвёртом задании ничего не нужно вычислять: нужно доказать утверждение. Ответа-числа здесь нет, поэтому оценивают только рассуждение — верно ли оно и обоснован ли каждый шаг.

Задач в открытом банке ФИПИ немного, и они повторяются с другими буквами. Ниже — восемь типов с доказательством, записанным по шагам.

На странице
  1. Подобие треугольников в трапеции
  2. Отрезок — биссектриса угла параллелограмма
  3. Прямая через точку пересечения диагоналей
  4. Точка внутри параллелограмма и площади
  5. Диагонали трапеции и равные площади
  6. Середина боковой стороны трапеции
  7. Равные углы в четырёхугольнике
  8. Высоты треугольника и равные углы
  9. Как писать доказательство
  10. За что снижают балл
  11. Вопросы и ответы

Коротко

Как решать задание 24 ОГЭ по математике: все типы

1. Подобие треугольников в трапеции

Нужен признак подобия по двум сторонам и углу между ними. Угол дают параллельные основания, пропорцию — данные длины: диагональ оказывается средним пропорциональным оснований.

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Решение

  1. Углы CBD и BDA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD
  2. Сравни стороны, образующие эти углы: в треугольнике CBD это BC и BD, в треугольнике BDA — BD и AD. BCBD = 510 = 12 и BDAD = 1020 = 12
  3. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны. По второму признаку подобия треугольники CBD и BDA подобны
Можно иначе. Главное — увидеть, что BD — общая сторона, которая в одном треугольнике «большая», а в другом «меньшая»: BD2 = BC · AD, то есть 100 = 5 · 20. Это и есть пропорция из второго шага. Без равенства углов при BD доказательство неполное: за пропорцию без угла ставят 0 баллов.

Как это оценят на экзамене

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

2. Отрезок — биссектриса угла параллелограмма

Половина большой стороны равна малой — это равнобедренный треугольник. Параллельность сторон даёт накрест лежащие углы. Вместе: отрезок образует равные углы со сторонами угла.

Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.

Решение

  1. N — середина CD, поэтому CN — половина CD. По условию половина CD равна BC: CN = BC
  2. Значит, треугольник с вершинами B, C, N равнобедренный, и углы при его основании BN равны
  3. Сторона CD параллельна стороне AB, BN — секущая: угол при вершине N в этом треугольнике равен накрест лежащему углу между BN и стороной AB
  4. Получается, что BN образует равные углы с двумя сторонами угла ABC. Значит, BN — его биссектриса
Можно иначе. Схема доказательства всегда одна: «половина большой стороны равна малой» даёт равнобедренный треугольник, а параллельность сторон — накрест лежащие углы. Вместе они показывают, что отрезок делит угол пополам. В записи обязательно назови, какие прямые параллельны и что является секущей, — иначе шаг не обоснован.

Как это оценят на экзамене

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

3. Прямая через точку пересечения диагоналей

Два треугольника при точке пересечения диагоналей равны по стороне и двум прилежащим углам: половины диагонали, вертикальные углы, накрест лежащие углы.

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

Решение

  1. Рассмотри треугольники BOP и DOQ. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: BO = DO
  2. Углы BOP и DOQ равны как вертикальные
  3. Углы OBP и ODQ равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD
  4. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, равны и соответствующие стороны: BP = DQ
Можно иначе. Через симметрию: точка O — центр симметрии параллелограмма. При повороте на 180° вокруг O вершина B переходит в D, прямая AB — в прямую CD, а прямая PQ — сама в себя. Поэтому точка P переходит в Q, и отрезок BP — в отрезок DQ. На экзамене надёжнее записать доказательство через равенство треугольников.

Как это оценят на экзамене

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

4. Точка внутри параллелограмма и площади

Высоты двух треугольников из этой точки в сумме дают высоту параллелограмма, а основания у них равны. Сумма площадей — половина произведения основания на высоту.

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку M. Докажите, что сумма площадей треугольников BMC и AMD равна половине площади параллелограмма.

Решение

  1. Проведи через точку M прямую, перпендикулярную сторонам BC и AD. Пусть расстояние от M до BC равно h1, до AD — h2. Точка M лежит внутри параллелограмма, то есть между параллельными прямыми BC и AD, поэтому два этих расстояния вместе дают расстояние между прямыми: h1 + h2 = h — высота параллелограмма, проведённая к стороне BC
  2. Площадь треугольника BMC равна 12 · BC · h1, площадь треугольника AMD равна 12 · AD · h2
  3. BC = AD как противоположные стороны параллелограмма. Сумма площадей: 12 · BC · (h1 + h2) = 12 · BC · h
  4. Площадь параллелограмма равна BC · h. Значит, сумма площадей двух треугольников равна её половине
Можно иначе. Можно иначе: проведи через M прямую, параллельную BC. Она разрежет параллелограмм на два параллелограмма. Треугольник BMC — половина верхнего (у них общее основание BC и общая высота), треугольник AMD — половина нижнего. Вместе — половина целого.

Как это оценят на экзамене

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

5. Диагонали трапеции и равные площади

Два больших треугольника на одном основании трапеции имеют равные высоты, а значит, и площади. Вычти из каждого общий треугольник — останутся нужные.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

Решение

  1. Сравни треугольники ABD и ACD. У них общее основание AD, а высоты, проведённые к нему из вершин B и C, равны: обе равны расстоянию между параллельными прямыми BC и AD
  2. Значит, площади треугольников ABD и ACD равны
  3. Треугольник APD входит в каждый из них. Вычти его площадь: S(APB) = S(ABD) − S(APD), S(CPD) = S(ACD) − S(APD)
  4. Из равных площадей вычли одно и то же — получили равные: S(APB) = S(CPD)
Можно иначе. Ключевой шаг — найти два больших треугольника равной площади, из которых нужные получаются вычитанием одного и того же куска. То же самое можно сделать через основание BC: треугольники ABC и DBC равновелики, а общий кусок — BPC.

Как это оценят на экзамене

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

6. Середина боковой стороны трапеции

Проведи через середину прямую, параллельную другой боковой стороне: трапеция превращается в равновеликий параллелограмм, а треугольник — в его половину.

Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Решение

  1. Проведи через точку E прямую, параллельную стороне CD. Пусть она пересекает прямые AD и BC в точках P и Q
  2. Треугольники EAP и EBQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: EA = EB (E — середина AB), углы AEP и BEQ вертикальные, углы EAP и EBQ накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AB
  3. Четырёхугольник PQCD — параллелограмм: стороны CD и PQ параллельны по построению, а стороны PD и QC лежат на параллельных прямых AD и BC
  4. Трапеция и параллелограмм PQCD отличаются только треугольниками EAP и EBQ: один из них входит в трапецию, другой — в параллелограмм, остальное у них общее. Треугольники равны, поэтому площадь трапеции равна площади параллелограмма
  5. У треугольника ECD и параллелограмма PQCD общее основание CD, а высоты к нему равны: точка E лежит на стороне PQ, параллельной CD. Значит, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, то есть половине площади трапеции
Можно иначе. Через среднюю линию: пусть высота трапеции h, а средняя линия m. Точка E лежит на средней линии, значит, от неё до оснований по h2. Площади треугольников с вершиной E на основаниях: 12 · BC · h2 и 12 · AD · h2 — вместе 12 · m · h, половина трапеции. На треугольник ECD (вершины C, D и E) остаётся вторая половина.

Как это оценят на экзамене

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

7. Равные углы в четырёхугольнике

Если отрезок виден из двух вершин под равными углами и они лежат по одну сторону от него, все четыре вершины лежат на одной окружности. Дальше работают вписанные углы.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

Решение

  1. Углы DAC и DBC опираются на отрезок CD, а их вершины — точки A и B — лежат по одну сторону от прямой CD, потому что четырёхугольник выпуклый
  2. Если из двух точек, лежащих по одну сторону от прямой, отрезок виден под равными углами, то эти точки и концы отрезка лежат на одной окружности. Значит, точки A, B, C, D лежат на одной окружности
  3. Углы CDB и CAB вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу BC
  4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны: углы CDB и CAB равны
Можно иначе. Без окружности: пусть диагонали пересекаются в точке O. Из равенства данных углов и вертикальных углов при точке O два треугольника при этой точке подобны; из пропорции их сторон подобны и два других треугольника при точке O — а это даёт равенство нужных углов. Этот путь длиннее, но не требует признака вписанного четырёхугольника.

Как это оценят на экзамене

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

8. Высоты треугольника и равные углы

Основания двух высот видят сторону под прямым углом — они лежат на окружности с этой стороной как диаметром. Нужные углы вписаны в неё и опираются на одну дугу.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы BB1A1 и BAA1 равны.

Решение

  1. Высоты перпендикулярны сторонам, поэтому из точек A1 и B1 отрезок AB виден под прямым углом
  2. Точка, из которой отрезок виден под прямым углом, лежит на окружности с этим отрезком как диаметром. Значит, точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром AB — вместе с его концами
  3. Углы BB1A1 и BAA1 вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу A1B
  4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
Можно иначе. Можно сказать то же другими словами: четырёхугольник с вершинами в концах стороны AB и основаниях двух высот вписан в окружность, потому что два его угла, опирающиеся на AB, прямые. А в вписанном четырёхугольнике углы, опирающиеся на одну сторону, равны.

Как это оценят на экзамене

Решать такие заданияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Как писать доказательство

За что снижают балл

Вопросы и ответы

Можно ли доказывать не так, как в разборе?

Да. Засчитывается любое верное доказательство, в котором обоснован каждый шаг. Разбор показывает один из путей.

Насколько подробно нужно писать?

Так, чтобы каждый переход можно было проверить. Очевидные вещи — равенство вертикальных углов — достаточно назвать, доказывать их не нужно.

Как тренировать доказательства без проверяющего?

Записывать полностью, как на экзамене, а потом сравнивать с разбором по шагам: все ли обоснования на месте. Самая частая потеря — пропущенная причина, а не неверная идея.

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.
Пройти диагностику

Другие разборы

Задания и разборы составлены по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Тексты заданий наши; числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.