Вариант 9 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Определите, какими цифрами на плане обозначены объекты: сарай, гараж, теплица, баня. В ответ запишите четыре цифры подряд в этом порядке, без пробелов и запятых.

Ответ: ____________

2 Плитку для площадки покупали упаковками по 6 штук. Сколько упаковок понадобилось, чтобы вымостить всю площадку?

Ответ: ____________

3 Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ: ____________

4 Найдите расстояние от жилого дома до теплицы — между двумя ближайшими точками по прямой. Ответ дайте в метрах.

Ответ: ____________

5 Газовое отопление дороже купить и установить, зато дешевле в работе. Через сколько часов непрерывной работы экономия на газе покроет разницу в стоимости покупки и установки?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 9,1 − 7,9.

Ответ: ____________

7 Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу √21. Какая это точка?

1. точка A
2. точка B
3. точка C
4. точка D

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения (√10 + 6)(√10 − 6).

Ответ: ____________

9 Решите уравнение x² − 15x + 56 = 0. Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.

Ответ: ____________

10 Из вазы, в которой лежат 9 карамельных конфет и 42 шоколадные конфеты, не глядя взяли две конфеты. Первая конфета оказалась шоколадной. Найдите вероятность того, что вторая конфета тоже шоколадная.

Ответ: ____________

11 На рисунках изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.

1. a > 0, c < 0
2. a < 0, c < 0
3. a < 0, c > 0

Ответ: ____________

12 Фирма «Колодезный мастер» считает стоимость колодца из бетонных колец (в рублях) по формуле C = 6000 + 4500n, где n — число колец. Сколько рублей стоит колодец из 18 колец?

Ответ: ____________

13 Укажите решение системы неравенств: 3x + 6 ≤ 0 и 2x − 8 ≥ 0.

1. [4; +∞)
2. (−∞; −2]
3. [−2; 4]
4. нет решений

Ответ: ____________

14 Шарик отпустили на наклонном жёлобе. За первую секунду шарик прокатился на 0,9 м, а за каждую следующую прокатывался на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров шарик прокатился за первые 7 секунд движения?

Ответ: ____________

15 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 78°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 15. Найдите AC, если BC = 18.

Ответ: ____________

17 Сторона ромба равна 54, а один из углов этого ромба равен 30°. Найдите высоту этого ромба.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
3. Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство x ≤ 25x.

21 Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 12 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

22 Постройте график функции y = x² − |4x − 6| + 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

23 Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 14, DC = 28, AC = 54.

24 Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

25 На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. Известно, что AD = 24, MD = 12, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

20 Решите неравенство x ≤ 25x.

1. Перенеси всё влево и приведи к общему знаменателю: x² − 25x ≤ 0
2. Разложи числитель: (x − 5)(x + 5)x ≤ 0. Отметь на прямой точки −5, 0 и 5; ноль — выколотая точка
3. Знаки на промежутках чередуются: «−» при x < −5, «+» от −5 до 0, «−» от 0 до 5, «+» при x > 5
4. Нужны промежутки с минусом и точки, где числитель равен нулю: (−∞; −5] ∪ (0; 5]. Ответ: (−∞; −5] ∪ (0; 5]

21 Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 12 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

1. Пусть скорость первого x км/ч. За час он пробежал x км, и до конца круга осталось 4 км: длина круга равна x + 4
2. Второй бежит со скоростью x + 8 и пробежал круг за 60 − 12 = 48 минут, то есть за 4860 часа
3. Длина круга одна и та же: (x + 8) · 4860 = x + 4
4. 48(x + 8) = 60x + 240, откуда 12x = 144 и x = 12

22 Постройте график функции y = x² − |4x − 6| + 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Выражение под модулем равно нулю при x = 1,5. При x ≥ 1,5 оно неотрицательно, модуль его не меняет: y = x² − (4x − 6) + 1 = x² − 4x + 7. При x < 1,5 модуль меняет его знак: y = x² + 4x − 5
2. Справа — парабола с вершиной (2; 3), слева — парабола с вершиной (−2; −9); обе вершины лежат в своих промежутках. При x = 1,5 обе формулы дают 3,25: там график не рвётся, а образует излом — «пик» между двумя «ямами»
3. Двигай прямую y = m снизу вверх. Ниже −9 общих точек нет; при m = −9 — одна; между −9 и 3 — две; при m = 3 — три: вершина одной параболы и две точки другой; между 3 и 3,25 — четыре; при m = 3,25 — три: излом и по точке на каждой внешней ветви; выше — две
4. Три общие точки при m = 3 и m = 3,25. Ответ: m = 3; m = 3,25

23 Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 14, DC = 28, AC = 54.

1. Треугольники AMB и CMD подобны по двум углам: углы при вершине M вертикальные, углы MAB и MCD накрест лежащие при параллельных AB и DC
2. Стороны пропорциональны: AM : MC = AB : DC = 14 : 28 = 1 : 2
3. Значит, AC делится на 1 + 2 = 3 части, из них на MC приходится 2
4. MC = 54 · 23 = 36

24 Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

1. Проведи через точку K прямую, параллельную стороне AB. Пусть она пересекает прямые AD и BC в точках P и Q
2. Треугольники KDP и KCQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: KD = KC (K — середина CD), углы DKP и CKQ вертикальные, углы KDP и KCQ накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD
3. Четырёхугольник ABQP — параллелограмм: стороны AB и PQ параллельны по построению, а стороны AP и BQ лежат на параллельных прямых AD и BC
4. Трапеция и параллелограмм ABQP отличаются только треугольниками KDP и KCQ: один из них входит в трапецию, другой — в параллелограмм, остальное у них общее. Треугольники равны, поэтому площадь трапеции равна площади параллелограмма
5. У треугольника KAB и параллелограмма ABQP общее основание AB, а высоты к нему равны: точка K лежит на стороне PQ, параллельной AB. Значит, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, то есть половине площади трапеции

25 На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. Известно, что AD = 24, MD = 12, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

1. Угол BMC опирается на диаметр BC, значит, он прямой. MD — высота прямоугольного треугольника BMC, проведённая к гипотенузе: MD² = BD · DC
2. Треугольники BDH и ADC прямоугольные, и угол HBD равен углу DAC: оба дополняют угол C до 90°. Значит, они подобны, и BD : AD = HD : DC, то есть BD · DC = AD · HD
3. Из двух равенств: AD · HD = MD², откуда HD = 12² : 24 = 6
4. AH = AD − HD = 24 − 6 = 18