Вариант 22 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Определите, какими цифрами на плане обозначены помещения: кладовая, санузел, спальня, коридор. В ответ запишите четыре цифры подряд в этом порядке, без пробелов и запятых.

Ответ: ____________

2 Плитка для пола размером 25 см на 25 см продаётся в упаковках по 20 штук. Сколько упаковок понадобилось, чтобы выложить пол на кухне?

Ответ: ____________

3 Найдите площадь коридора. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ: ____________

4 На сколько процентов площадь санузла больше площади кладовой?

Ответ: ____________

5 Нужна стиральная машина, у которой загрузка вертикальная, а вместимость не меньше 5 кг. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый подходящий вариант вместе с подключением и доставкой?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения (910 − 16) · 30.

Ответ: ____________

7 Какому из данных промежутков принадлежит число 1213?

1. [0,6; 0,7]
2. [0,7; 0,8]
3. [0,8; 0,9]
4. [0,9; 1]

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения (√19 − 7)² + 14√19.

Ответ: ____________

9 Найдите корень уравнения 3(x + 12) − 2(x − 12) = 13.

Ответ: ____________

10 На рисунке изображено дерево случайного опыта: на рёбрах записаны вероятности. Найдите вероятность события A̅ ∩ B.

Ответ: ____________

11 На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов k и b.

1. k > 0, b < 0
2. k < 0, b > 0
3. k < 0, b < 0

Ответ: ____________

12 Мощность постоянного тока в ваттах вычисляют по формуле P = I²R, где I — сила тока в амперах, R — сопротивление в омах. Найдите R, если P = 432 и I = 6.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства (x + 9)(x − 9) ≥ 0.

Ответ: ____________

14 В ходе опыта вещество равномерно охлаждали: каждую минуту его температура опускалась на 9 °C. В начале опыта температура вещества была 14 °C. Найдите температуру вещества через 6 минут после начала опыта. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 20, AC = 21. Найдите AB.

Ответ: ____________

16 К окружности с центром O проведена касательная AB, B — точка касания. Радиус окружности равен 20, OA = 29. Найдите AB.

Ответ: ____________

17 Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 168°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. Если две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого, то такие треугольники равны.
2. Любые два диаметра одной окружности пересекаются.
3. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство (x² + 2x − 63)(x² + 2x − 24) ≤ 0.

21 Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 360 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

22 Постройте график функции y = 9|x| − 1010|x| − 9x². Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

23 Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 21.

24 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы BB1A1 и BAA1 равны.

25 В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 256, BC = 64.

20 Решите неравенство (x² + 2x − 63)(x² + 2x − 24) ≤ 0.

1. Корни первого трёхчлена: −9 и 7. Корни второго: −6 и 4
2. Отметь на прямой четыре точки: −9, −6, 4, 7. Все закрашены, неравенство нестрогое
3. При больших x обе скобки положительны — справа стоит «+», дальше знаки чередуются: +, −, +, −, +
4. Минус — на отрезках [−9; −6] и [4; 7]. Ответ: [−9; −6] ∪ [4; 7]

21 Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 360 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

1. Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Это не среднее арифметическое скоростей
2. Время на участках: 140 : 70 = 2 ч, 180 : 60 = 3 ч, 360 : 120 = 3 ч
3. Весь путь: 140 + 180 + 360 = 680 км. Всё время: 2 + 3 + 3 = 8 ч
4. 680 : 8 = 85

22 Постройте график функции y = 9|x| − 1010|x| − 9x². Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

1. Замени x² на |x|² и разложи знаменатель: 10|x| − 9|x|² = |x| · (10 − 9|x|). Он не равен нулю: x ≠ 0, x ≠ 109 и x ≠ −109
2. Числитель отличается от скобки знаком: 9|x| − 10 = −(10 − 9|x|). При допустимых x дробь сокращается: y = −1|x|
3. При x > 0 это y = −1x, при x < 0 это y = 1x: две ветви под осью x, симметричные относительно оси y. Выколоты точки (109; −910) и (−109; −910)
4. Прямая y = kx проходит через начало координат. При k = 0 это ось x: график лежит ниже неё, общих точек нет. При k > 0 прямая идёт в третьей четверти и пересекает левую ветвь один раз, при k < 0 — правую ветвь один раз
5. Эта единственная точка пропадает, только если она выколота. Для левой точки: −910 = k · (−109), k = 81100. Для правой k = −81100
6. Общих точек нет при k = −0,81, k = 0 и k = 0,81. Наибольшее из них: 0,81

23 Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 21.

1. Углы A и B трапеции — односторонние при параллельных основаниях и секущей AB: их сумма 180°
2. Биссектрисы делят их пополам, поэтому углы FAB и FBA в сумме дают 90°. Значит, угол AFB равен 180° − 90° = 90°
3. Треугольник AFB прямоугольный, AB — гипотенуза: AB² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841
4. AB = 29

24 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы BB1A1 и BAA1 равны.

1. Высоты перпендикулярны сторонам, поэтому из точек A1 и B1 отрезок AB виден под прямым углом
2. Точка, из которой отрезок виден под прямым углом, лежит на окружности с этим отрезком как диаметром. Значит, точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром AB — вместе с его концами
3. Углы BB1A1 и BAA1 вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу A1B
4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны

25 В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 256, BC = 64.

1. Продли стороны AB и CD до пересечения в точке P. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки: PE² = PC · PD
2. Пусть угол между прямыми AB и CD равен φ. BC и AD перпендикулярны AB, поэтому BC = PC · sin φ и AD = PD · sin φ
3. Расстояние от E до прямой CD — перпендикуляр из E: оно равно PE · sin φ
4. (PE · sin φ)² = PC · PD · sin² φ = BC · AD = 64 · 256 = 16384. Расстояние равно √16384 = 128