Вариант 25 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Определите, какими цифрами на плане обозначены объекты: теплица, гараж, баня, жилой дом. В ответ запишите четыре цифры подряд в этом порядке, без пробелов и запятых.

Ответ: ____________

2 Плитку для площадки покупали упаковками по 6 штук. Сколько упаковок понадобилось, чтобы вымостить всю площадку?

Ответ: ____________

3 Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ: ____________

4 Найдите расстояние от жилого дома до гаража — между двумя ближайшими точками по прямой. Ответ дайте в метрах.

Ответ: ____________

5 Газовое отопление дороже купить и установить, зато дешевле в работе. Через сколько часов непрерывной работы экономия на газе покроет разницу в стоимости покупки и установки?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 4,3 · 0,6 − 1,1.

Ответ: ____________

7 Какое из следующих чисел заключено между числами 49 и 59?

1. 0,3
2. 0,4
3. 0,5
4. 0,6

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения (√15 − √5)(√15 + √5).

Ответ: ____________

9 Решите уравнение 9x + 9 = 3x − 15.

Ответ: ____________

10 В партии 50 фонариков, из них неисправных — 10. Найдите вероятность того, что случайно выбранный фонарик окажется исправным.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками квадратичных функций и формулами, которые их задают.

1. y = −x² − 4x − 1
2. y = x² − 4x + 1
3. y = x² + 4x + 1

Ответ: ____________

12 Кинетическую энергию тела (в джоулях) находят по формуле E = mv²2, где m — масса тела в килограммах, v — его скорость в метрах в секунду. Тело массой 40 кг обладает кинетической энергией 980 Дж. Найдите его скорость. Ответ дайте в метрах в секунду.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства x² − 3x − 10 > 0.

1. (−∞; 5)
2. (−2; +∞)
3. (−∞; −2) ∪ (5; +∞)
4. (−2; 5)

Ответ: ____________

14 Найдите сумму первых 6 членов арифметической прогрессии, в которой a1 = 10 и d = 3.

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол A равен 63°, угол B равен 46°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол A равен 77°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

17 Один из углов параллелограмма равен 105°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 180°.
2. Все диаметры одной окружности равны.
3. Любой квадрат является прямоугольником.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство x ≤ 64x.

21 Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 42 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

22 Постройте график функции y = x² − |4x + 6| + 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

23 Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 66, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 56 и 60.

24 Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

25 Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два треугольника. В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Известно, что OA = 37, расстояние от точки O до прямой AD равно 33, а до прямой AC — 12. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

20 Решите неравенство x ≤ 64x.

1. Перенеси всё влево и приведи к общему знаменателю: x² − 64x ≤ 0
2. Разложи числитель: (x − 8)(x + 8)x ≤ 0. Отметь на прямой точки −8, 0 и 8; ноль — выколотая точка
3. Знаки на промежутках чередуются: «−» при x < −8, «+» от −8 до 0, «−» от 0 до 8, «+» при x > 8
4. Нужны промежутки с минусом и точки, где числитель равен нулю: (−∞; −8] ∪ (0; 8]. Ответ: (−∞; −8] ∪ (0; 8]

21 Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 42 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

1. Плот плывёт со скоростью течения: 42 км он проплыл за 42 : 3 = 14 ч
2. Лодка вышла на час позже, значит, была в пути 14 − 1 = 13 ч
3. Пусть её скорость x км/ч: 80x + 3 + 80x − 3 = 13
4. Умножь на (x + 3)(x − 3): 160x = 13(x² − 9), то есть 13x² − 160x − 117 = 0
5. Дискриминант: 25600 + 6084 = 31684 = 178². Корни: x = 160 − 17826 = −913 и x = 160 + 17826 = 13
6. Второй корень отрицательный, а скорость не бывает отрицательной: x = 13

22 Постройте график функции y = x² − |4x + 6| + 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Выражение под модулем равно нулю при x = −1,5. При x ≥ −1,5 оно неотрицательно, модуль его не меняет: y = x² − (4x + 6) + 2 = x² − 4x − 4. При x < −1,5 модуль меняет его знак: y = x² + 4x + 8
2. Справа — парабола с вершиной (2; −8), слева — парабола с вершиной (−2; 4); обе вершины лежат в своих промежутках. При x = −1,5 обе формулы дают 4,25: там график не рвётся, а образует излом — «пик» между двумя «ямами»
3. Двигай прямую y = m снизу вверх. Ниже −8 общих точек нет; при m = −8 — одна; между −8 и 4 — две; при m = 4 — три: вершина одной параболы и две точки другой; между 4 и 4,25 — четыре; при m = 4,25 — три: излом и по точке на каждой внешней ветви; выше — две
4. Три общие точки при m = 4 и m = 4,25. Ответ: m = 4; m = 4,25

23 Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 66, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 56 и 60.

1. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Радиус, половина хорды и этот перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник
2. Для хорды AB: половина равна 33, расстояние 56. Радиус: √(1089 + 3136) = 65
3. Для хорды CD: радиус 65, расстояние 60. Половина хорды: √(4225 − 3600) = 25
4. CD = 2 · 25 = 50

24 Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

1. Проведи через точку E прямую, параллельную стороне CD. Пусть она пересекает прямые AD и BC в точках P и Q
2. Треугольники EAP и EBQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: EA = EB (E — середина AB), углы AEP и BEQ вертикальные, углы EAP и EBQ накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AB
3. Четырёхугольник PQCD — параллелограмм: стороны CD и PQ параллельны по построению, а стороны PD и QC лежат на параллельных прямых AD и BC
4. Трапеция и параллелограмм PQCD отличаются только треугольниками EAP и EBQ: один из них входит в трапецию, другой — в параллелограмм, остальное у них общее. Треугольники равны, поэтому площадь трапеции равна площади параллелограмма
5. У треугольника ECD и параллелограмма PQCD общее основание CD, а высоты к нему равны: точка E лежит на стороне PQ, параллельной CD. Значит, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, то есть половине площади трапеции

25 Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два треугольника. В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Известно, что OA = 37, расстояние от точки O до прямой AD равно 33, а до прямой AC — 12. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

1. Расстояние от центра вписанной окружности до стороны треугольника — её радиус: r = 12. До прямой BC от точки O тоже 12
2. Прямые BC и AD параллельны, точка O лежит между ними (она внутри треугольника ABC). Расстояние между этими прямыми — высота параллелограмма: h = 33 + 12 = 45
3. Пусть окружность касается стороны AC в точке K. Радиус OK перпендикулярен AC, и в прямоугольном треугольнике AOK: AK² = 37² − 12² = 1225, AK = 35
4. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Из вершины A идут два отрезка по 35, а отрезки из вершин B и C вместе составляют сторону BC и входят в периметр дважды. Поэтому полупериметр треугольника ABC равен 35 + BC
5. Запиши площадь треугольника ABC двумя способами: через радиус вписанной окружности, 12 · (35 + BC), и через сторону BC и высоту к ней, 12 · BC · 45. Приравняй и умножь на 2: 840 + 24 · BC = 45 · BC, откуда 21 · BC = 840, BC = 40
6. Площадь параллелограмма: BC · h = 40 · 45 = 1800