Вариант 7 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Сколько километров от деревни Ключи до села Каменка, если ехать по шоссе?

Ответ: ____________

2 Найдите расстояние от деревни Ключи до села Каменка по просёлочной дороге. Ответ дайте в километрах.

Ответ: ____________

3 Сколько минут Гриша потратит на дорогу из деревни Ключи в село Каменка, если поедет по шоссе?

Ответ: ____________

4 Сколько минут Гриша потратит на дорогу из деревни Ключи в село Каменка, если поедет по просёлочной дороге?

Ответ: ____________

5 Гриша доехал на велосипеде по шоссе до деревни Луговое, а оттуда до села Каменка — на автобусе, который идёт со скоростью 40 км/ч. Сколько минут заняла вся дорога?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 4,9 · 1,5 − 2,2.

Ответ: ____________

7 Какое из следующих чисел заключено между числами 611 и 711?

1. 0,6
2. 0,7
3. 0,8
4. 0,9

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения (5⁵)⁻³5⁻¹⁸.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение x² − 225 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Ответ: ____________

10 На рисунке — диаграмма Эйлера для случайных событий A и B. Точками показаны все элементарные события опыта, около каждого записана его вероятность. Найдите вероятность события B̅.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками квадратичных функций и формулами, которые их задают.

1. y = x² + 4x + 1
2. y = −x² + 4x − 1
3. y = −x² − 4x − 1

Ответ: ____________

12 Силу Архимеда (в ньютонах), которая действует на тело, погружённое в воду, находят по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения, V — объём тела в кубических метрах. Найдите силу Архимеда для тела объёмом 0,95 м³. Ответ дайте в ньютонах.

Ответ: ____________

13 Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1. x² − 81 < 0
2. x² − 9x < 0
3. x² − 9x > 0
4. x² − 81 > 0

Ответ: ____________

14 В первом ряду амфитеатра 24 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Всего в амфитеатре 15 рядов. Сколько в нём мест?

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC сторона AC равна 60, BM — медиана, BM = 23. Найдите AM.

Ответ: ____________

16 В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 40°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

17 Острый угол ромба равен 80°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов.
2. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Точка пересечения двух окружностей одного радиуса одинаково удалена от их центров.

Ответ: ____________

20 Решите систему уравнений: 5x² + y = 53 и 4x² − y = 28.

21 Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 70 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, большей скорости первого на 21 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

22 Постройте график функции, заданной так: y = x² + 1 при x ≤ 2; y = −x + 7 при x > 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 112, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 33 и 39.

24 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке M. Докажите, что площади треугольников AMB и CMD равны.

25 Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два треугольника. В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Известно, что OA = 39, расстояние от точки O до прямой AD равно 35, а до прямой AC — 15. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

20 Решите систему уравнений: 5x² + y = 53 и 4x² − y = 28.

1. Сложи уравнения — y уничтожится: 9x² = 81
2. x² = 9, откуда x = 3 или x = −3
3. Подставь x² = 9 в первое уравнение: 45 + y = 53, y = 8
4. Решения: (3; 8) и (−3; 8). Значение y: 8

21 Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 70 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, большей скорости первого на 21 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

1. Пусть скорость первого x км/ч, а весь путь равен 2S (половина — S). Первый был в пути 2S : x часов
2. Второй: S70 + Sx + 21. Времена равны: 2Sx = S70 + Sx + 21
3. Раздели на S и умножь на 70x(x + 21): 140(x + 21) = x(x + 21) + 70x, то есть x² − 49x − 2940 = 0
4. Дискриминант: 2401 + 11760 = 14161 = 119². Корни: x = 49 − 1192 = −35 и x = 49 + 1192 = 84
5. Скорость не бывает отрицательной, подходит только x = 84

22 Постройте график функции, заданной так: y = x² + 1 при x ≤ 2; y = −x + 7 при x > 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Парабола y = x² + 1: ветви вверх, вершина в точке (0; 1). Число 0 входит в промежуток x ≤ 2, значит, вершина на графике есть
2. На границе, при x = 2, парабола даёт 5, и формула прямой y = −x + 7 даёт 5. Части сходятся в точке (2; 5): график не рвётся
3. Иди по графику слева направо: парабола опускается до вершины (0; 1), поднимается до точки (2; 5), а дальше прямая уходит вниз
4. Прямая y = m ниже 1 или выше 5 встречает график один раз, между 1 и 5 — три раза, а на высоте вершины или точки стыка — два
5. Две общие точки при m = 1 и m = 5. Ответ: m = 1; m = 5

23 Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 112, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 33 и 39.

1. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Радиус, половина хорды и этот перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник
2. Для хорды AB: половина равна 56, расстояние 33. Радиус: √(3136 + 1089) = 65
3. Для хорды CD: радиус 65, расстояние 39. Половина хорды: √(4225 − 1521) = 52
4. CD = 2 · 52 = 104

24 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке M. Докажите, что площади треугольников AMB и CMD равны.

1. Сравни треугольники ABD и ACD. У них общее основание AD, а высоты, проведённые к нему из вершин B и C, равны: обе равны расстоянию между параллельными прямыми BC и AD
2. Значит, площади треугольников ABD и ACD равны
3. Треугольник AMD входит в каждый из них. Вычти его площадь: S(AMB) = S(ABD) − S(AMD), S(CMD) = S(ACD) − S(AMD)
4. Из равных площадей вычли одно и то же — получили равные: S(AMB) = S(CMD)

25 Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два треугольника. В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Известно, что OA = 39, расстояние от точки O до прямой AD равно 35, а до прямой AC — 15. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

1. Расстояние от центра вписанной окружности до стороны треугольника — её радиус: r = 15. До прямой BC от точки O тоже 15
2. Прямые BC и AD параллельны, точка O лежит между ними (она внутри треугольника ABC). Расстояние между этими прямыми — высота параллелограмма: h = 35 + 15 = 50
3. Пусть окружность касается стороны AC в точке K. Радиус OK перпендикулярен AC, и в прямоугольном треугольнике AOK: AK² = 39² − 15² = 1296, AK = 36
4. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Из вершины A идут два отрезка по 36, а отрезки из вершин B и C вместе составляют сторону BC и входят в периметр дважды. Поэтому полупериметр треугольника ABC равен 36 + BC
5. Запиши площадь треугольника ABC двумя способами: через радиус вписанной окружности, 15 · (36 + BC), и через сторону BC и высоту к ней, 12 · BC · 50. Приравняй и умножь на 2: 1080 + 30 · BC = 50 · BC, откуда 20 · BC = 1080, BC = 54
6. Площадь параллелограмма: BC · h = 54 · 50 = 2700