Вариант 11 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на карте обозначены населённые пункты: Ольховка, Сосновка, Ключи. В ответ запишите три цифры подряд в этом порядке, без пробелов и запятых.

Ответ: ____________

2 Найдите расстояние от деревни Ольховка до села Луговое по шоссе. Ответ дайте в километрах.

Ответ: ____________

3 Найдите расстояние от деревни Ольховка до села Луговое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Ответ: ____________

4 Сколько минут Миша затратит на дорогу из деревни Ольховка в деревню Сосновка, если поедет по шоссе?

Ответ: ____________

5 Миша хочет добраться из деревни Ольховка в село Луговое как можно быстрее. Сколько минут займёт самый быстрый из двух путей?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 2125 : 52.

Ответ: ____________

7 Какое из данных чисел принадлежит промежутку [8; 9]?

1. √26
2. √44
3. √52
4. √78

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения √(a² + 10ab + 25b²) при a = 2 и b = −5.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение 11x + 4 = 6x − 36.

Ответ: ____________

10 На тарелке лежат пирожки: с капустой — 30, с вишней — 2, с яблоками — 18. Найдите вероятность того, что взятый наугад пирожок окажется с вишней.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций вида y = kx и формулами, которые их задают.

1. y = 6x
2. y = 2x
3. y = −2x

Ответ: ____________

12 Стоимость проката самоката в рублях считают по формуле C = 60 + 9 · (t − 5), где t — время поездки в минутах (t > 5). Найдите стоимость поездки длиной 25 минут.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства x² − 10x + 21 > 0.

1. (3; +∞)
2. (3; 7)
3. (−∞; 7)
4. (−∞; 3) ∪ (7; +∞)

Ответ: ____________

14 В первом ряду зрительного зала 25 мест, а в каждом следующем на 4 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером 6?

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC сторона AB равна 21, сторона BC равна 21, sin ∠ABC = 37. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ: ____________

16 Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 12√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Ответ: ____________

17 Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 10, BD = 60, AB = 31. Найдите DO.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены две точки. Найдите расстояние между ними.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Любые два диаметра одной окружности пересекаются.
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3. Если угол острый, то смежный с ним угол тоже острый.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство x² − 17x + 66x − 6 ≤ 0.

21 Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 25 часов после отплытия из него.

22 Постройте график функции y = (x² − 4x + 4)(x − 4)x − 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

23 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 37, BC = 30, CF : DF = 3 : 4.

24 Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC равна 25, диагональ BD равна 30, а средняя линия равна 12,5. Найдите площадь трапеции.

20 Решите неравенство x² − 17x + 66x − 6 ≤ 0.

1. Знаменатель не равен нулю: x ≠ 6
2. Разложи числитель: x² − 17x + 66 = (x − 6)(x − 11)
3. При x ≠ 6 дробь сокращается: x − 11 ≤ 0, то есть x ≤ 11
4. Убери из этого луча точку 6: (−∞; 6) ∪ (6; 11]. Ответ: (−∞; 6) ∪ (6; 11]

21 Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 25 часов после отплытия из него.

1. В движении теплоход был 25 − 6 = 19 ч
2. Пусть скорость течения x км/ч: 17619 + x + 17619 − x = 19
3. Умножь на (19 + x)(19 − x): 176(19 − x) + 176(19 + x) = 19(361 − x²), то есть 6688 = 6859 − 19x²
4. x² = 9, откуда x = 3 или x = −3. Скорость течения положительна: x = 3

22 Постройте график функции y = (x² − 4x + 4)(x − 4)x − 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Знаменатель не равен нулю: x ≠ 4. При таких x дробь сокращается на скобку: y = x² − 4x + 4
2. График — парабола ветвями вверх с вершиной (2; 0), но без точки с абсциссой 4. Подставь x = 4 в y = x² − 4x + 4: выколота точка (4; 4)
3. Прямая y = m ниже вершины с параболой не встречается, через вершину — имеет одну общую точку, выше — две, симметричные относительно оси параболы x = 2
4. Но на высоте 4 одна из этих двух точек выколота, и общая точка остаётся одна
5. Одна общая точка при m = 0 и m = 4. Ответ: m = 0; m = 4

23 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 37, BC = 30, CF : DF = 3 : 4.

1. Проведи через вершину C прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает основание AD в точке K, а отрезок EF — в точке L
2. В четырёхугольниках ABCK и EBCL противоположные стороны попарно параллельны: это параллелограммы. Поэтому AK = BC = 30 и EL = BC = 30, а KD = AD − AK = 37 − 30 = 7
3. Треугольники CLF и CKD подобны по двум углам: угол C у них общий, а углы CLF и CKD соответственные при параллельных прямых EF и AD и секущей CK. Значит, LF : KD = CF : CD = 3 : 7
4. LF = 7 · 37 = 3
5. EF = EL + LF = 30 + 3 = 33

24 Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

1. Рассмотри треугольники BOP и DOQ. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: BO = DO
2. Углы BOP и DOQ равны как вертикальные
3. Углы OBP и ODQ равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD
4. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, равны и соответствующие стороны: BP = DQ

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC равна 25, диагональ BD равна 30, а средняя линия равна 12,5. Найдите площадь трапеции.

1. Проведи через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке E. В четырёхугольнике BCED противоположные стороны попарно параллельны — это параллелограмм: DE = BC и CE = BD = 30
2. AE = AD + DE = AD + BC. Сумма оснований вдвое больше средней линии: AE = 2 · 12,5 = 25. В треугольнике ACE известны все стороны: 25, 30 и 25
3. Площадь треугольника ACE равна площади трапеции. Высота треугольника из вершины C — это высота трапеции h, поэтому его площадь 12 · AE · h = 12 · (AD + BC) · h — та же формула, что у трапеции
4. Найди площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр: (25 + 30 + 25) : 2 = 40. Под корнем: 40 · 15 · 10 · 15 = 90000
5. S = √90000 = 300