Вариант 18 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Найдите объём парного отделения. Ответ дайте в кубических метрах.

Ответ: ____________

2 На сколько рублей дровяная печь, подходящая по объёму парного отделения, дороже электрической?

Ответ: ____________

3 Сколько рублей будет стоить покупка электрической печи вместе с кабелем и доставкой?

Ответ: ____________

4 На дровяную печь, подходящую по объёму, действует скидка 20%. Сколько рублей она стоит со скидкой?

Ответ: ____________

5 Электрическая печь потребляет 8 кВт. Хозяин собирается топить баню 12 часов в месяц, а 1 кВт·ч электроэнергии стоит 6 рублей. Сколько рублей в месяц он будет платить за электроэнергию для печи?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 4,9 − 14.

Ответ: ____________

7 Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу √107. Какая это точка?

1. точка A
2. точка B
3. точка C
4. точка D

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения √6 · √96.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение 7x + 13 = 2x − 17.

Ответ: ____________

10 Вероятность того, что новая батарейка окажется бракованной, равна 0,28. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка исправна.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1. y = 2x
2. y = x² − 3
3. y = −2x

Ответ: ____________

12 Центростремительное ускорение (в м/с²) при движении по окружности находят по формуле a = ω²R, где ω — угловая скорость (в с⁻¹), R — радиус окружности в метрах. Найдите радиус R, если ω = 8 с⁻¹, а a = 192 м/с². Ответ дайте в метрах.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства x² − 16 > 0.

1. (−∞; 4)
2. (−4; +∞)
3. (−∞; −4) ∪ (4; +∞)
4. (−4; 4)

Ответ: ____________

14 В геометрической прогрессии (bn) первый член b1 = −1, знаменатель q = 2. Найдите b4.

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC проведена медиана BM, причём BM = AM = MC. Угол C равен 64°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 50. Найдите площадь квадрата ABCD.

Ответ: ____________

17 В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 18, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Диагонали любого параллелограмма равны.
3. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Ответ: ____________

20 Решите уравнение x⁴ = (−3x + 18)².

21 Баржа прошла по течению реки 18 км и, повернув обратно, прошла ещё 40 км, затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

22 Постройте график функции, заданной так: y = 2x − 3 при x < 2; y = −4x + 9 при 2 ≤ x ≤ 3; y = 1,5x − 7,5 при x > 3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 24, DC = 30, AC = 18.

24 Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади параллелограмма.

25 На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. Известно, что AD = 25, MD = 15, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

20 Решите уравнение x⁴ = (−3x + 18)².

1. Перенеси всё влево и разложи как разность квадратов: (x²)² − (−3x + 18)² = 0
2. (x² − (−3x + 18))(x² + (−3x + 18)) = 0
3. Первая скобка: x² + 3x − 18 = 0, корни −6 и 3
4. Вторая скобка: x² − 3x + 18 = 0, дискриминант 9 − 72 = −63 — отрицательный, корней нет
5. Корни уравнения: −6 и 3. Больший: 3

21 Баржа прошла по течению реки 18 км и, повернув обратно, прошла ещё 40 км, затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

1. Пусть собственная скорость x км/ч. По течению баржа идёт со скоростью x + 5, против течения — x − 5
2. Время в пути: 18x + 5 + 40x − 5 = 6
3. Умножь на (x + 5)(x − 5): 18(x − 5) + 40(x + 5) = 6(x² − 25), то есть 6x² − 58x − 260 = 0
4. Раздели на 2: 3x² − 29x − 130 = 0. Дискриминант: 841 + 1560 = 2401 = 49². Корни: x = 29 − 496 = −103 и x = 29 + 496 = 13
5. Чтобы идти против течения, баржа должна быть быстрее него: x > 5. Подходит только x = 13. Проверка: 18 : 18 + 40 : 8 = 1 + 5 = 6

22 Постройте график функции, заданной так: y = 2x − 3 при x < 2; y = −4x + 9 при 2 ≤ x ≤ 3; y = 1,5x − 7,5 при x > 3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. График состоит из трёх звеньев. Найди значения в точках стыка: при x = 2 первая и вторая формулы дают 1, при x = 3 вторая и третья дают −3. График не рвётся
2. Первое звено поднимается до точки (2; 1), второе опускается до (3; −3), третье снова поднимается
3. Прямая y = m ниже −3 или выше 1 пересекает график один раз, между ними — три раза, а на уровне излома — два
4. Две общие точки при m = −3 и m = 1. Ответ: m = −3; m = 1

23 Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 24, DC = 30, AC = 18.

1. Треугольники AMB и CMD подобны по двум углам: углы при вершине M вертикальные, углы MAB и MCD накрест лежащие при параллельных AB и DC
2. Стороны пропорциональны: AM : MC = AB : DC = 24 : 30 = 4 : 5
3. Значит, AC делится на 4 + 5 = 9 частей, из них на MC приходится 5
4. MC = 18 · 59 = 10

24 Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади параллелограмма.

1. Проведи через точку K прямую, перпендикулярную сторонам BC и AD. Пусть расстояние от K до BC равно h1, до AD — h2. Точка K лежит внутри параллелограмма, то есть между параллельными прямыми BC и AD, поэтому два этих расстояния вместе дают расстояние между прямыми: h1 + h2 = h — высота параллелограмма, проведённая к стороне BC
2. Площадь треугольника BKC равна 12 · BC · h1, площадь треугольника AKD равна 12 · AD · h2
3. BC = AD как противоположные стороны параллелограмма. Сумма площадей: 12 · BC · (h1 + h2) = 12 · BC · h
4. Площадь параллелограмма равна BC · h. Значит, сумма площадей двух треугольников равна её половине

25 На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. Известно, что AD = 25, MD = 15, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

1. Угол BMC опирается на диаметр BC, значит, он прямой. MD — высота прямоугольного треугольника BMC, проведённая к гипотенузе: MD² = BD · DC
2. Треугольники BDH и ADC прямоугольные, и угол HBD равен углу DAC: оба дополняют угол C до 90°. Значит, они подобны, и BD : AD = HD : DC, то есть BD · DC = AD · HD
3. Из двух равенств: AD · HD = MD², откуда HD = 15² : 25 = 9
4. AH = AD − HD = 25 − 9 = 16