Вариант 4 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Шины какой наименьшей ширины можно ставить на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

2 Найдите высоту боковины шины 205/55 R16. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

3 Найдите диаметр колеса с шиной 215/50 R17. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

4 На сколько миллиметров радиус колеса с шиной 195/65 R15 больше радиуса колеса с шиной 205/60 R15?

Ответ: ____________

5 На сколько процентов увеличится путь, который автомобиль проходит за один оборот колеса, если шины 205/60 R15 заменить шинами 195/65 R15? Ответ округлите до десятых.

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения (35 + 23) · 30.

Ответ: ____________

7 Какому из данных промежутков принадлежит число 29?

1. [0; 0,1]
2. [0,1; 0,2]
3. [0,2; 0,3]
4. [0,3; 0,4]

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения 256(4√2)².

Ответ: ____________

9 Решите уравнение 5x + 11 = x + 15.

Ответ: ____________

10 В коробке 40 воздушных шариков: 8 красных, 24 зелёных, остальные — жёлтые и белые, их поровну. Найдите вероятность того, что вынутый наугад шарик окажется красным или жёлтым.

Ответ: ____________

11 На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов k и b.

1. k > 0, b > 0
2. k < 0, b < 0
3. k > 0, b < 0

Ответ: ____________

12 Площадь четырёхугольника можно найти по формуле S = d1d2 sin α2, где d1 и d2 — длины его диагоналей, α — угол между ними. Найдите d2, если d1 = 17, sin α = 25, а S = 34.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства x² − x − 30 < 0.

1. (−5; +∞)
2. (−∞; −5) ∪ (6; +∞)
3. (−5; 6)
4. (−∞; 6)

Ответ: ____________

14 Перед станцией машинист начал торможение. За первую секунду после этого поезд прошёл 12 м, а за каждую следующую — на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров поезд прошёл за первые 4 секунды торможения?

Ответ: ____________

15 Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 44°. Найдите другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 Сторона квадрата равна 14. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Ответ: ____________

17 Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 246°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
3. Катет прямоугольного треугольника может быть длиннее гипотенузы.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство (x − 5)² < √2 · (x − 5).

21 Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

22 Постройте график функции, заданной так: y = x² − 4x + 1 при x ≤ 4; y = 4x при x > 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 16, BF = 12.

24 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

25 В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 27, BC = 12.

20 Решите неравенство (x − 5)² < √2 · (x − 5).

1. Перенеси всё влево: (x − 5)² − √2 · (x − 5) < 0
2. Вынеси общий множитель: (x − 5)(x − 5 − √2) < 0
3. Корни: 5 и 5 + √2. Произведение отрицательно между ними: (5; 5 + √2)
4. Ответ: (5; 5 + √2)

21 Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

1. Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Обозначь половину пути буквой S: весь путь равен 2S
2. Время: S90 + S45 = S · (90 + 45)90 · 45 = 135S4050
3. Средняя скорость: 2S : 135S4050 = 2 · 4050135 = 60

22 Постройте график функции, заданной так: y = x² − 4x + 1 при x ≤ 4; y = 4x при x > 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. При x > 4 график — часть гиперболы y = 4x. Здесь y > 0. Чем дальше от нуля, тем ближе эта ветвь к оси x, но оси она не касается; а к границе x = 4 она подходит на высоте 4 : 4 = 1
2. При x ≤ 4 график — часть параболы y = x² − 4x + 1 с вершиной (2; −3); вершина лежит в этом промежутке. При x = 4 парабола даёт 1: части сходятся в точке (4; 1), и эта точка принадлежит параболе
3. Гипербола принимает каждое значение между 0 и 1 по одному разу. Парабола принимает значение −3 один раз (в вершине), значения больше −3, но не больше 1, — по два раза, значения больше 1 — по одному
4. Сложи. При m < −3 общих точек нет; при m = −3 — одна; при −3 < m ≤ 0 — две, обе на параболе; при 0 < m < 1 — три; при m = 1 — две; выше — одна
5. Две общие точки при −3 < m ≤ 0 и при m = 1. Ответ: −3 < m ≤ 0; m = 1

23 Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 16, BF = 12.

1. Углы A и B трапеции — односторонние при параллельных основаниях и секущей AB: их сумма 180°
2. Биссектрисы делят их пополам, поэтому углы FAB и FBA в сумме дают 90°. Значит, угол AFB равен 180° − 90° = 90°
3. Треугольник AFB прямоугольный, AB — гипотенуза: AB² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400
4. AB = 20

24 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

1. Углы BCA и BDA опираются на отрезок AB, а их вершины — точки C и D — лежат по одну сторону от прямой AB, потому что четырёхугольник выпуклый
2. Если из двух точек, лежащих по одну сторону от прямой, отрезок виден под равными углами, то эти точки и концы отрезка лежат на одной окружности. Значит, точки A, B, C, D лежат на одной окружности
3. Углы ABD и ACD вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу AD
4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны: углы ABD и ACD равны

25 В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 27, BC = 12.

1. Продли стороны AB и CD до пересечения в точке P. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки: PE² = PC · PD
2. Пусть угол между прямыми AB и CD равен φ. BC и AD перпендикулярны AB, поэтому BC = PC · sin φ и AD = PD · sin φ
3. Расстояние от E до прямой CD — перпендикуляр из E: оно равно PE · sin φ
4. (PE · sin φ)² = PC · PD · sin² φ = BC · AD = 12 · 27 = 324. Расстояние равно √324 = 18