Вариант 21 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Под каким номером в таблице записан лист формата A4?

Ответ: ____________

2 Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Ответ: ____________

3 Найдите длину большей стороны листа формата A1. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

4 Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: ____________

5 Бумагу формата A2 упаковали в пачку из 500 листов. Найдите массу пачки, если лист бумаги площадью 1 кв. м весит 80 г. Ответ дайте в граммах.

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 8,1 + 5,5.

Ответ: ____________

7 На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих неравенств верно?

1. ab² > 0
2. a²b < 0
3. ab < 0
4. a − b > 0

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения 2⁻⁴ · 2⁹.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение x² − 4 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Ответ: ____________

10 Из коробки, в которой лежат 18 красных шаров и 23 синих шара, не глядя достали два шара. Первый шар оказался синим. Найдите вероятность того, что второй шар тоже синий.

Ответ: ____________

11 На рисунках изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.

1. a > 0, c > 0
2. a < 0, c > 0
3. a < 0, c < 0

Ответ: ____________

12 Стоимость проката самоката в рублях считают по формуле C = 40 + 8 · (t − 10), где t — время поездки в минутах (t > 10). Найдите стоимость поездки длиной 30 минут.

Ответ: ____________

13 Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1. x² − 1 > 0
2. x² − 1 < 0
3. x² − x < 0
4. x² − x > 0

Ответ: ____________

14 Поезд тронулся от станции. За первую секунду состав прошёл 0,8 м, а за каждую следующую проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол C равен 27°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 Сторона AB треугольника ABC является диаметром описанной около него окружности. Угол A равен 21°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

17 Диагональ AC ромба ABCD равна 20, а tg BCA = 12. Найдите площадь ромба.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
2. Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.
3. Сумма смежных углов равна 180°.

Ответ: ____________

20 Решите уравнение x² − 7x + √(4 − x) = √(4 − x) + 8.

21 Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч, а вторую — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

22 Постройте график функции y = 9x − 29x² − 2x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

23 Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 3 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

24 Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

25 В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Найдите AH, если BC = 10, B1C1 = 6.

20 Решите уравнение x² − 7x + √(4 − x) = √(4 − x) + 8.

1. Корень √(4 − x) существует только при 4 − x ≥ 0, то есть при x ≤ 4. Это условие нужно записать до упрощения
2. При таких x корни в обеих частях одинаковы и сокращаются: x² − 7x = 8
3. x² − 7x − 8 = 0. Корни: −1 и 8
4. Условию x ≤ 4 удовлетворяет только −1

21 Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч, а вторую — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

1. Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Обозначь половину пути буквой S: весь путь равен 2S
2. Время: S40 + S60 = S · (40 + 60)40 · 60 = 100S2400
3. Средняя скорость: 2S : 100S2400 = 2 · 2400100 = 48

22 Постройте график функции y = 9x − 29x² − 2x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Разложи знаменатель: 9x² − 2x = x(9x − 2). Он не равен нулю: x ≠ 0 и x ≠ 29
2. При таких x дробь сокращается: y = 1x. График — гипербола без точки с абсциссой 29: выколота точка (29; 92)
3. Прямая y = kx проходит через начало координат. При k ≤ 0 общих точек нет, при k > 0 их две — симметричные относительно начала координат
4. Одна общая точка получится, только если вторая попадает в выколотую: 92 = k · 29, откуда k = 814 = 20,25

23 Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 3 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

1. Сторона ромба: CD = DH + CH = 3 + 2 = 5. Все стороны ромба равны, поэтому AD = 5
2. AH — высота, значит, треугольник ADH прямоугольный с гипотенузой AD
3. По теореме Пифагора: AH² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
4. AH = 4

24 Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

1. K — середина BC, поэтому CK — половина BC. По условию половина BC равна CD: CK = CD
2. Значит, треугольник с вершинами D, C, K равнобедренный, и углы при его основании DK равны
3. Сторона BC параллельна стороне AD, DK — секущая: угол при вершине K в этом треугольнике равен накрест лежащему углу между DK и стороной AD
4. Получается, что DK образует равные углы с двумя сторонами угла ADC. Значит, DK — его биссектриса

25 В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Найдите AH, если BC = 10, B1C1 = 6.

1. В прямоугольном треугольнике ABB1 катет AB1 прилежит к углу A: AB1 = AB · cos A. Так же в треугольнике ACC1: AC1 = AC · cos A
2. У треугольников AB1C1 и ABC угол A общий, а стороны, которые его образуют, пропорциональны: AB1 : AB = AC1 : AC = cos A. Треугольники подобны по второму признаку с коэффициентом cos A
3. Значит, B1C1 = BC · cos A, откуда cos A = 610 = 35. Угол A острый, его синус положителен: sin² A = 1 − cos² A, sin A = 45
4. Углы AB1H и AC1H прямые, поэтому точки B1 и C1 лежат на окружности с диаметром AH. Эта окружность описана около треугольника AB1C1
5. По теореме синусов для треугольника AB1C1 сторона B1C1, делённая на синус противолежащего угла A, равна диаметру: AH = 6 : 45 = 7,5