Вариант 20 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Шины какой наибольшей ширины можно ставить на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

2 Найдите высоту боковины шины 165/65 R14. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

3 Найдите диаметр колеса с шиной 175/70 R13. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

4 На сколько миллиметров радиус колеса с шиной 195/55 R15 больше радиуса колеса с шиной 175/60 R15?

Ответ: ____________

5 На сколько процентов увеличится путь, который автомобиль проходит за один оборот колеса, если шины 175/60 R15 заменить шинами 195/55 R15? Ответ округлите до десятых.

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 12 + 1825.

Ответ: ____________

7 Какое из данных чисел принадлежит промежутку [3; 4]?

1. √2
2. √7
3. √11
4. √18

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения (2√7)²560.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение 2x − 19 = −5.

Ответ: ____________

10 В коробке лежат ручки — всего 8, из них синих — 6. Найдите вероятность того, что случайно выбранная ручка окажется синей.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций вида y = kx + b и формулами, которые их задают.

1. y = x + 4
2. y = x − 4
3. y = −x − 4

Ответ: ____________

12 Температуру в градусах Фаренгейта находят по формуле tF = 1,8 · tC + 32, где tC — температура в градусах Цельсия. Найдите tF при tC = −22.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства −x + 4 > 4x + 34.

1. (−∞; −6)
2. (−∞; 6)
3. (6; +∞)
4. (−6; +∞)

Ответ: ____________

14 В арифметической прогрессии (an) первый член a1 = −7, разность d = 8. Найдите a5.

Ответ: ____________

15 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, угол BAC равен 40°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 Вписанный угол ACB равен 26°. Найдите центральный угол AOB, который опирается на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

17 Один из углов ромба равен 103°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести две прямые, параллельные этой прямой.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство (x − 1)² < √10 · (x − 1).

21 Два автомобиля одновременно отправляются в 160-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 40 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

22 Постройте график функции, заданной так: y = −9x при x < −3; y = x² + 4x + 6 при x ≥ −3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 30, BC = 27, CF : DF = 2 : 1.

24 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC равна 13, диагональ BD равна 15, а средняя линия равна 7. Найдите площадь трапеции.

20 Решите неравенство (x − 1)² < √10 · (x − 1).

1. Перенеси всё влево: (x − 1)² − √10 · (x − 1) < 0
2. Вынеси общий множитель: (x − 1)(x − 1 − √10) < 0
3. Корни: 1 и 1 + √10. Произведение отрицательно между ними: (1; 1 + √10)
4. Ответ: (1; 1 + √10)

21 Два автомобиля одновременно отправляются в 160-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 40 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

1. Пусть скорость первого x км/ч, тогда второго — (x − 40) км/ч
2. Второй был в пути на 2 ч дольше: 160x − 40 − 160x = 2
3. Умножь на x(x − 40): 160x − 160(x − 40) = 2x(x − 40), то есть 2x² − 80x − 6400 = 0
4. Раздели на 2: x² − 40x − 3200 = 0. Дискриминант: 1600 + 12800 = 14400 = 120². Корни: x = 40 − 1202 = −40 и x = 40 + 1202 = 80
5. Скорость не бывает отрицательной, подходит только x = 80. Проверка: 160 : 40 − 160 : 80 = 4 − 2 = 2

22 Постройте график функции, заданной так: y = −9x при x < −3; y = x² + 4x + 6 при x ≥ −3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. При x < −3 график — часть гиперболы y = −9x. Здесь y > 0. Чем дальше от нуля, тем ближе эта ветвь к оси x, но оси она не касается; а к границе x = −3 она подходит на высоте 9 : 3 = 3
2. При x ≥ −3 график — часть параболы y = x² + 4x + 6 с вершиной (−2; 2); вершина лежит в этом промежутке. При x = −3 парабола даёт 3: части сходятся в точке (−3; 3), и эта точка принадлежит параболе
3. Гипербола принимает каждое значение между 0 и 3 по одному разу. Парабола принимает значение 2 один раз (в вершине), значения больше 2, но не больше 3, — по два раза, значения больше 3 — по одному
4. Сложи. При m ≤ 0 общих точек нет; при 0 < m < 2 — одна; при m = 2 — две; при 2 < m < 3 — три; при m = 3 — две; выше — одна
5. Две общие точки при m = 2 и m = 3. Ответ: m = 2; m = 3

23 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 30, BC = 27, CF : DF = 2 : 1.

1. Проведи через вершину C прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает основание AD в точке K, а отрезок EF — в точке L
2. В четырёхугольниках ABCK и EBCL противоположные стороны попарно параллельны: это параллелограммы. Поэтому AK = BC = 27 и EL = BC = 27, а KD = AD − AK = 30 − 27 = 3
3. Треугольники CLF и CKD подобны по двум углам: угол C у них общий, а углы CLF и CKD соответственные при параллельных прямых EF и AD и секущей CK. Значит, LF : KD = CF : CD = 2 : 3
4. LF = 3 · 23 = 2
5. EF = EL + LF = 27 + 2 = 29

24 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

1. Углы CDB и CAB опираются на отрезок BC, а их вершины — точки A и D — лежат по одну сторону от прямой BC, потому что четырёхугольник выпуклый
2. Если из двух точек, лежащих по одну сторону от прямой, отрезок виден под равными углами, то эти точки и концы отрезка лежат на одной окружности. Значит, точки A, B, C, D лежат на одной окружности
3. Углы BCA и BDA вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу AB
4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны: углы BCA и BDA равны

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC равна 13, диагональ BD равна 15, а средняя линия равна 7. Найдите площадь трапеции.

1. Проведи через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке E. В четырёхугольнике BCED противоположные стороны попарно параллельны — это параллелограмм: DE = BC и CE = BD = 15
2. AE = AD + DE = AD + BC. Сумма оснований вдвое больше средней линии: AE = 2 · 7 = 14. В треугольнике ACE известны все стороны: 13, 15 и 14
3. Площадь треугольника ACE равна площади трапеции. Высота треугольника из вершины C — это высота трапеции h, поэтому его площадь 12 · AE · h = 12 · (AD + BC) · h — та же формула, что у трапеции
4. Найди площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр: (13 + 15 + 14) : 2 = 21. Под корнем: 21 · 8 · 6 · 7 = 7056
5. S = √7056 = 84