Вариант 1 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Определите, какими цифрами на плане обозначены объекты: теплица, жилой дом, баня, сарай. В ответ запишите четыре цифры подряд в этом порядке, без пробелов и запятых.

Ответ: ____________

2 Плитку для площадки покупали упаковками по 10 штук. Сколько упаковок понадобилось, чтобы вымостить всю площадку?

Ответ: ____________

3 Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ: ____________

4 Найдите расстояние от сарая до бани — между двумя ближайшими точками по прямой. Ответ дайте в метрах.

Ответ: ____________

5 Газовое отопление дороже купить и установить, зато дешевле в работе. Через сколько часов непрерывной работы экономия на газе покроет разницу в стоимости покупки и установки?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 2,4 · 1,5 + 1,6.

Ответ: ____________

7 Одно из данных чисел отмечено на координатной прямой точкой A. Какое это число?

1. 489
2. 579
3. 689
4. 769

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения a¹⁹ · (b⁹)²(a · b)¹⁸ при a = 3 и b = √3.

Ответ: ____________

9 Найдите корень уравнения 3(x + 5) − 2(x − 5) = 5.

Ответ: ____________

10 В магазине 20 чашек, из них со сколом — 9. Найдите вероятность того, что случайно выбранная чашка окажется без скола.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками квадратичных функций и формулами, которые их задают.

1. y = −x² − 4x − 2
2. y = x² − 4x + 2
3. y = x² + 4x + 2

Ответ: ____________

12 Стоимость проката самоката в рублях считают по формуле C = 50 + 9 · (t − 5), где t — время поездки в минутах (t > 5). Найдите стоимость поездки длиной 15 минут.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства (x + 4)(x − 8) < 0.

1. (−∞; −4) ∪ (8; +∞)
2. (8; +∞)
3. (−4; 8)
4. (−∞; −4)

Ответ: ____________

14 Найдите сумму первых 8 членов арифметической прогрессии, в которой a1 = 5 и d = 5.

Ответ: ____________

15 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, угол BAC равен 50°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 Сторона AB треугольника ABC является диаметром описанной около него окружности. Угол A равен 37°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

17 Диагонали ромба равны 24 и 18. Найдите его сторону.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC, на стороне AB отмечена точка M. Во сколько раз отрезок BM длиннее отрезка AM?

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
3. Около любого параллелограмма можно описать окружность.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство x ≤ 16x.

21 Баржа прошла по течению реки 42 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

22 Постройте график функции y = x² − |4x + 6| + 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

23 Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 64, AC = 100.

24 Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P, а биссектрисы углов C и D — в точке Q. Найдите PQ, если AB = 14, CD = 26, а средняя линия трапеции равна 27.

20 Решите неравенство x ≤ 16x.

1. Перенеси всё влево и приведи к общему знаменателю: x² − 16x ≤ 0
2. Разложи числитель: (x − 4)(x + 4)x ≤ 0. Отметь на прямой точки −4, 0 и 4; ноль — выколотая точка
3. Знаки на промежутках чередуются: «−» при x < −4, «+» от −4 до 0, «−» от 0 до 4, «+» при x > 4
4. Нужны промежутки с минусом и точки, где числитель равен нулю: (−∞; −4] ∪ (0; 4]. Ответ: (−∞; −4] ∪ (0; 4]

21 Баржа прошла по течению реки 42 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

1. Пусть собственная скорость x км/ч. По течению баржа идёт со скоростью x + 3, против течения — x − 3
2. Время в пути: 42x + 3 + 30x − 3 = 4
3. Умножь на (x + 3)(x − 3): 42(x − 3) + 30(x + 3) = 4(x² − 9), то есть 4x² − 72x = 0
4. Раздели на 4: x² − 18x = 0. Вынеси x за скобку: x(x − 18) = 0, откуда x = 0 или x = 18
5. Чтобы идти против течения, баржа должна быть быстрее него: x > 3. Подходит только x = 18. Проверка: 42 : 21 + 30 : 15 = 2 + 2 = 4

22 Постройте график функции y = x² − |4x + 6| + 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Выражение под модулем равно нулю при x = −1,5. При x ≥ −1,5 оно неотрицательно, модуль его не меняет: y = x² − (4x + 6) + 1 = x² − 4x − 5. При x < −1,5 модуль меняет его знак: y = x² + 4x + 7
2. Справа — парабола с вершиной (2; −9), слева — парабола с вершиной (−2; 3); обе вершины лежат в своих промежутках. При x = −1,5 обе формулы дают 3,25: там график не рвётся, а образует излом — «пик» между двумя «ямами»
3. Двигай прямую y = m снизу вверх. Ниже −9 общих точек нет; при m = −9 — одна; между −9 и 3 — две; при m = 3 — три: вершина одной параболы и две точки другой; между 3 и 3,25 — четыре; при m = 3,25 — три: излом и по точке на каждой внешней ветви; выше — две
4. Три общие точки при m = 3 и m = 3,25. Ответ: m = 3; m = 3,25

23 Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 64, AC = 100.

1. Треугольники ABH и ACB подобны: оба прямоугольные, угол A у них общий
2. Из подобия: ABAC = AHAB, то есть AB² = AH · AC
3. AB² = 64 · 100 = 6400
4. AB = 80

24 Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

1. Проведи через точку K прямую, параллельную стороне AB. Пусть она пересекает прямые AD и BC в точках P и Q
2. Треугольники KDP и KCQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: KD = KC (K — середина CD), углы DKP и CKQ вертикальные, углы KDP и KCQ накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD
3. Четырёхугольник ABQP — параллелограмм: стороны AB и PQ параллельны по построению, а стороны AP и BQ лежат на параллельных прямых AD и BC
4. Трапеция и параллелограмм ABQP отличаются только треугольниками KDP и KCQ: один из них входит в трапецию, другой — в параллелограмм, остальное у них общее. Треугольники равны, поэтому площадь трапеции равна площади параллелограмма
5. У треугольника KAB и параллелограмма ABQP общее основание AB, а высоты к нему равны: точка K лежит на стороне PQ, параллельной AB. Значит, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, то есть половине площади трапеции

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P, а биссектрисы углов C и D — в точке Q. Найдите PQ, если AB = 14, CD = 26, а средняя линия трапеции равна 27.

1. Углы A и B трапеции — односторонние при параллельных основаниях и секущей AB, их сумма 180°. Биссектрисы делят их пополам: углы PAB и PBA вместе дают 90°. Значит, угол APB прямой. Так же прямой и угол CQD
2. Пусть M — середина AB. В прямоугольном треугольнике APB медиана PM, проведённая к гипотенузе, равна её половине: PM = AM = AB2 = 7
3. Треугольник AMP равнобедренный, поэтому угол MPA равен углу MAP. А угол MAP равен углу PAD: AP — биссектриса. Углы MPA и PAD накрест лежащие при прямых MP и AD и секущей AP; они равны, значит, MP параллельна AD. Через середину боковой стороны параллельно основаниям идёт средняя линия — точка P лежит на ней
4. Так же для второй боковой стороны: если N — середина CD, то точка Q лежит на средней линии и QN = CD2 = 13
5. На средней линии MN = 27 точки идут в порядке M, P, Q, N, потому что 7 + 13 меньше 27. PQ = MN − PM − QN = 27 − 7 − 13 = 7