Вариант 14 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Определите, какими цифрами на плане обозначены помещения: спальня, кухня, санузел, кладовая. В ответ запишите четыре цифры подряд в этом порядке, без пробелов и запятых.

Ответ: ____________

2 Паркетная доска размером 25 см на 100 см продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

Ответ: ____________

3 Найдите площадь спальни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ: ____________

4 На сколько процентов площадь гостиной больше площади санузла?

Ответ: ____________

5 Нужна стиральная машина, у которой загрузка вертикальная, а вместимость не меньше 5 кг. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый подходящий вариант вместе с подключением и доставкой?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 78 + 12.

Ответ: ____________

7 На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений об этом числе верно?

1. a − 2 < 0
2. a + 1 < 0
3. a − 1 > 0
4. −1 − a > 0

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения √((−a)⁴ · a²) при a = 3.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение x² − 81 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ: ____________

10 На рисунке — диаграмма Эйлера для случайных событий A и B. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события A̅.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций вида y = kx + b и формулами, которые их задают.

1. y = −2x − 2
2. y = −2x + 2
3. y = 2x + 2

Ответ: ____________

12 Площадь четырёхугольника можно найти по формуле S = d1d2 sin α2, где d1 и d2 — длины его диагоналей, α — угол между ними. Найдите d1, если d2 = 14, sin α = 35, а S = 21.

Ответ: ____________

13 Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1. x² − 25 > 0
2. x² − 5x < 0
3. x² − 5x > 0
4. x² − 25 < 0

Ответ: ____________

14 В амфитеатре 16 рядов, и в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В 3-м ряду 18 мест, а в 7-м — 34. Сколько мест в последнем ряду?

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 35, AB = 45. Найдите BC.

Ответ: ____________

16 Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 6, BC = 7, CD = 14. Найдите AD.

Ответ: ____________

17 Сторона квадрата равна 22√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC, на стороне AB отмечена точка M. Во сколько раз отрезок AM короче отрезка BM?

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. Если стороны одного четырёхугольника равны сторонам другого, то такие четырёхугольники равны.
2. В остроугольном треугольнике все углы острые.
3. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство (x² + x − 42)(x² + x − 6) ≤ 0.

21 Два велосипедиста одновременно отправляются в 96-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 4 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

22 Постройте график функции y = 2|x| − 55|x| − 2x². Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

23 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 15, AC = 18, NC = 7.

24 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы BB1A1 и BAA1 равны.

25 Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 4, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 122° и 118°.

20 Решите неравенство (x² + x − 42)(x² + x − 6) ≤ 0.

1. Корни первого трёхчлена: −7 и 6. Корни второго: −3 и 2
2. Отметь на прямой четыре точки: −7, −3, 2, 6. Все закрашены, неравенство нестрогое
3. При больших x обе скобки положительны — справа стоит «+», дальше знаки чередуются: +, −, +, −, +
4. Минус — на отрезках [−7; −3] и [2; 6]. Ответ: [−7; −3] ∪ [2; 6]

21 Два велосипедиста одновременно отправляются в 96-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 4 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

1. Пусть скорость второго x км/ч, тогда первого — (x + 4) км/ч
2. Второй был в пути на 2 ч дольше: 96x − 96x + 4 = 2
3. Умножь на x(x + 4): 384 = 2x(x + 4), то есть 2x² + 8x − 384 = 0
4. Раздели на 2: x² + 4x − 192 = 0. Дискриминант: 16 + 768 = 784 = 28². Корни: x = −4 − 282 = −16 и x = −4 + 282 = 12
5. Скорость не бывает отрицательной, подходит только x = 12. Проверка: 96 : 12 − 96 : 16 = 8 − 6 = 2

22 Постройте график функции y = 2|x| − 55|x| − 2x². Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

1. Замени x² на |x|² и разложи знаменатель: 5|x| − 2|x|² = |x| · (5 − 2|x|). Он не равен нулю: x ≠ 0, x ≠ 52 и x ≠ −52
2. Числитель отличается от скобки знаком: 2|x| − 5 = −(5 − 2|x|). При допустимых x дробь сокращается: y = −1|x|
3. При x > 0 это y = −1x, при x < 0 это y = 1x: две ветви под осью x, симметричные относительно оси y. Выколоты точки (52; −25) и (−52; −25)
4. Прямая y = kx проходит через начало координат. При k = 0 это ось x: график лежит ниже неё, общих точек нет. При k > 0 прямая идёт в третьей четверти и пересекает левую ветвь один раз, при k < 0 — правую ветвь один раз
5. Эта единственная точка пропадает, только если она выколота. Для левой точки: −25 = k · (−52), k = 425. Для правой k = −425
6. Общих точек нет при k = −0,16, k = 0 и k = 0,16. Наибольшее из них: 0,16

23 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 15, AC = 18, NC = 7.

1. Треугольники MBN и ABC подобны по двум углам: угол B общий, углы BNM и BCA соответственные при параллельных MN и AC
2. Обозначь BN = x, тогда BC = x + 7. Из подобия: xx + 7 = 1518
3. 18x = 15x + 105, то есть 3x = 105
4. x = 35

24 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы BB1A1 и BAA1 равны.

1. Высоты перпендикулярны сторонам, поэтому из точек A1 и B1 отрезок AB виден под прямым углом
2. Точка, из которой отрезок виден под прямым углом, лежит на окружности с этим отрезком как диаметром. Значит, точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром AB — вместе с его концами
3. Углы BB1A1 и BAA1 вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу A1B
4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны

25 Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 4, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 122° и 118°.

1. Точка M равноудалена от вершин — она центр окружности, описанной около ABCD, а AD — её диаметр
2. Сумма углов четырёхугольника 360°: углы A и D вместе дают 360° − 122° − 118° = 120°
3. Треугольники AMB и DMC равнобедренные (их боковые стороны — радиусы): угол AMB равен 180° − 2A, угол DMC равен 180° − 2D. Вместе: 360° − 2 · 120° = 120°
4. Четырёхугольник выпуклый, поэтому его вершины идут по окружности в порядке A, B, C, D, и лучи MB и MC делят развёрнутый угол AMD на три угла: AMB, BMC и CMD. На угол BMC остаётся 180° − 120° = 60°. Треугольник BMC равнобедренный с углом 60° при вершине — он равносторонний: радиус равен BC = 4
5. AD — диаметр: 2 · 4 = 8