Вариант 23 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Сколько километров от деревни Сосновка до села Луговое, если ехать по шоссе?

Ответ: ____________

2 Найдите расстояние от деревни Сосновка до села Луговое по просёлочной дороге. Ответ дайте в километрах.

Ответ: ____________

3 Сколько минут Гриша потратит на дорогу из деревни Сосновка в село Луговое, если поедет по шоссе?

Ответ: ____________

4 Сколько минут Гриша потратит на дорогу из деревни Сосновка в село Луговое, если поедет по просёлочной дороге?

Ответ: ____________

5 Гриша доехал на велосипеде по шоссе до деревни Ключи, а оттуда до села Луговое — на автобусе, который идёт со скоростью 40 км/ч. Сколько минут заняла вся дорога?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 910 · 1225.

Ответ: ____________

7 На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений об этом числе верно?

1. −2 − a > 0
2. a + 1 > 0
3. −2 − a < 0
4. a + 3 < 0

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения 13⁻¹¹ · 13⁹.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение x² − 9 = 0. Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.

Ответ: ____________

10 В забеге участвуют спортсмены из трёх городов: из Казани — 2, из Самары — 36, из Перми — 2. Найдите вероятность того, что первым по жребию стартует спортсмен из Самары.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций вида y = kx и формулами, которые их задают.

1. y = −6x
2. y = 1x
3. y = −1x

Ответ: ____________

12 Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 59(tF − 32), где tF — температура в градусах Фаренгейта. Найдите tC при tF = 50.

Ответ: ____________

13 Укажите решение системы неравенств: 2x + 6 ≤ 0 и 3x − 3 ≥ 0.

1. [1; +∞)
2. (−∞; −3]
3. нет решений
4. [−3; 1]

Ответ: ____________

14 В первом ряду зрительного зала 18 мест, а в каждом следующем на 3 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером 15?

Ответ: ____________

15 Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 35°. Найдите другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 В окружности с центром O и радиусом 17 проведена хорда AB. Расстояние от центра окружности до хорды равно 8. Найдите длину хорды AB.

Ответ: ____________

17 В равнобедренной трапеции высота равна 4, большее основание равно 18, а угол при основании равен 45°. Найдите меньшее основание.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
2. Около любого треугольника можно описать окружность.
3. Все хорды одной окружности равны.

Ответ: ____________

20 Решите систему уравнений: 2x² + y = 29 и 4x² − y = 67.

21 Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 30 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 206 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

22 Постройте график функции, заданной так: y = x + 2 при x < 0; y = x² − 4x + 2 при x ≥ 0. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 4, AC = 8, NC = 30.

24 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

25 Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 27, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 113° и 127°.

20 Решите систему уравнений: 2x² + y = 29 и 4x² − y = 67.

1. Сложи уравнения — y уничтожится: 6x² = 96
2. x² = 16, откуда x = 4 или x = −4
3. Подставь x² = 16 в первое уравнение: 32 + y = 29, y = −3
4. Решения: (4; −3) и (−4; −3). Значение y: −3

21 Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 30 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 206 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

1. Пусть второй ехал до встречи t часов. Первый был в движении на 30 минут меньше: t − 3060 часа
2. Вместе они проехали всё расстояние: 15(t − 3060) + 20t = 206
3. 35t = 206 + 7,5, откуда t = 213,5 : 35 = 6,1 ч
4. Второй проехал 20 · 6,1 = 122 км

22 Постройте график функции, заданной так: y = x + 2 при x < 0; y = x² − 4x + 2 при x ≥ 0. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Парабола y = x² − 4x + 2: ветви вверх, вершина в точке (2; −2). Число 2 входит в промежуток x ≥ 0, значит, вершина на графике есть
2. На границе, при x = 0, парабола даёт 2, и формула прямой y = x + 2 даёт 2. Части сходятся в точке (0; 2): график не рвётся
3. Иди по графику слева направо: прямая поднимается до точки (0; 2), дальше парабола опускается до вершины (2; −2) и снова идёт вверх
4. Прямая y = m ниже −2 или выше 2 встречает график один раз, между −2 и 2 — три раза, а на высоте вершины или точки стыка — два
5. Две общие точки при m = −2 и m = 2. Ответ: m = −2; m = 2

23 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 4, AC = 8, NC = 30.

1. Треугольники MBN и ABC подобны по двум углам: угол B общий, углы BNM и BCA соответственные при параллельных MN и AC
2. Обозначь BN = x, тогда BC = x + 30. Из подобия: xx + 30 = 48
3. 8x = 4x + 120, то есть 4x = 120
4. x = 30

24 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

1. Сравни треугольники ABD и ACD. У них общее основание AD, а высоты, проведённые к нему из вершин B и C, равны: обе равны расстоянию между параллельными прямыми BC и AD
2. Значит, площади треугольников ABD и ACD равны
3. Треугольник APD входит в каждый из них. Вычти его площадь: S(APB) = S(ABD) − S(APD), S(CPD) = S(ACD) − S(APD)
4. Из равных площадей вычли одно и то же — получили равные: S(APB) = S(CPD)

25 Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 27, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 113° и 127°.

1. Точка M равноудалена от вершин — она центр окружности, описанной около ABCD, а AD — её диаметр
2. Сумма углов четырёхугольника 360°: углы A и D вместе дают 360° − 113° − 127° = 120°
3. Треугольники AMB и DMC равнобедренные (их боковые стороны — радиусы): угол AMB равен 180° − 2A, угол DMC равен 180° − 2D. Вместе: 360° − 2 · 120° = 120°
4. Четырёхугольник выпуклый, поэтому его вершины идут по окружности в порядке A, B, C, D, и лучи MB и MC делят развёрнутый угол AMD на три угла: AMB, BMC и CMD. На угол BMC остаётся 180° − 120° = 60°. Треугольник BMC равнобедренный с углом 60° при вершине — он равносторонний: радиус равен BC = 27
5. AD — диаметр: 2 · 27 = 54