Вариант 13 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Под каким номером в таблице записан лист формата A4?

Ответ: ____________

2 Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A1?

Ответ: ____________

3 Найдите длину большей стороны листа формата A3. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

4 Найдите площадь листа формата A6. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: ____________

5 Бумагу формата A3 упаковали в пачку из 500 листов. Найдите массу пачки, если лист бумаги площадью 1 кв. м весит 80 г. Ответ дайте в граммах.

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 3,8 · 2,5 − 1,3.

Ответ: ____________

7 Какому из данных промежутков принадлежит число 911?

1. [0,6; 0,7]
2. [0,7; 0,8]
3. [0,8; 0,9]
4. [0,9; 1]

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения (√150 − √6) · √6.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение 7x − 8 = 48.

Ответ: ____________

10 В партии 40 фонариков, из них неисправных — 19. Найдите вероятность того, что случайно выбранный фонарик окажется исправным.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками квадратичных функций и формулами, которые их задают.

1. y = −x² − 4x − 1
2. y = x² − 4x + 1
3. y = −x² + 4x − 1

Ответ: ____________

12 Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 59(tF − 32), где tF — температура в градусах Фаренгейта. Найдите tC при tF = 185.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства 7x + 5 < 4x − 1.

1. (−2; +∞)
2. (−∞; −2)
3. (2; +∞)
4. (−∞; 2)

Ответ: ____________

14 Найдите сумму первых 8 членов арифметической прогрессии, в которой a1 = 9 и d = 6.

Ответ: ____________

15 Точки M и N — середины сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AC равна 22. Найдите MN.

Ответ: ____________

16 Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.

Ответ: ____________

17 Площадь параллелограмма равна 198, а две его стороны равны 18 и 22. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Сумма противоположных углов любого параллелограмма равна 180°.
2. В параллелограмме есть два равных угла.
3. Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Ответ: ____________

20 Решите уравнение x² − 4x + √(3 − x) = √(3 − x) + 45.

21 Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 120 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?

22 Постройте график функции y = 11x − 1011x² − 10x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

23 Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 15, BF = 20.

24 Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.

25 В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 16, BC = 4.

20 Решите уравнение x² − 4x + √(3 − x) = √(3 − x) + 45.

1. Корень √(3 − x) существует только при 3 − x ≥ 0, то есть при x ≤ 3. Это условие нужно записать до упрощения
2. При таких x корни в обеих частях одинаковы и сокращаются: x² − 4x = 45
3. x² − 4x − 45 = 0. Корни: −5 и 9
4. Условию x ≤ 3 удовлетворяет только −5

21 Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 120 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?

1. Пусть вторая труба пропускает x литров в минуту, тогда первая — (x − 15)
2. Первая заполняет резервуар на 4 мин дольше: 120x − 15 − 120x = 4
3. Умножь на x(x − 15): 1800 = 4x(x − 15), то есть 4x² − 60x − 1800 = 0
4. Раздели на 4: x² − 15x − 450 = 0. Дискриминант: 225 + 1800 = 2025 = 45². Корни: x = 15 − 452 = −15 и x = 15 + 452 = 30
5. Труба не может пропускать отрицательное число литров, подходит только x = 30. Проверка: 120 : 15 − 120 : 30 = 8 − 4 = 4

22 Постройте график функции y = 11x − 1011x² − 10x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Разложи знаменатель: 11x² − 10x = x(11x − 10). Он не равен нулю: x ≠ 0 и x ≠ 1011
2. При таких x дробь сокращается: y = 1x. График — гипербола без точки с абсциссой 1011: выколота точка (1011; 1110)
3. Прямая y = kx проходит через начало координат. При k ≤ 0 общих точек нет, при k > 0 их две — симметричные относительно начала координат
4. Одна общая точка получится, только если вторая попадает в выколотую: 1110 = k · 1011, откуда k = 121100 = 1,21

23 Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 15, BF = 20.

1. Углы A и B трапеции — односторонние при параллельных основаниях и секущей AB: их сумма 180°
2. Биссектрисы делят их пополам, поэтому углы FAB и FBA в сумме дают 90°. Значит, угол AFB равен 180° − 90° = 90°
3. Треугольник AFB прямоугольный, AB — гипотенуза: AB² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625
4. AB = 25

24 Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.

1. N — середина CD, поэтому CN — половина CD. По условию половина CD равна BC: CN = BC
2. Значит, треугольник с вершинами B, C, N равнобедренный, и углы при его основании BN равны
3. Сторона CD параллельна стороне AB, BN — секущая: угол при вершине N в этом треугольнике равен накрест лежащему углу между BN и стороной AB
4. Получается, что BN образует равные углы с двумя сторонами угла ABC. Значит, BN — его биссектриса

25 В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 16, BC = 4.

1. Продли стороны AB и CD до пересечения в точке P. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки: PE² = PC · PD
2. Пусть угол между прямыми AB и CD равен φ. BC и AD перпендикулярны AB, поэтому BC = PC · sin φ и AD = PD · sin φ
3. Расстояние от E до прямой CD — перпендикуляр из E: оно равно PE · sin φ
4. (PE · sin φ)² = PC · PD · sin² φ = BC · AD = 4 · 16 = 64. Расстояние равно √64 = 8