Вариант 24 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Сколько месяцев из шести абонент израсходовал больше минут, чем входит в пакет?

Ответ: ____________

2 Сколько рублей абонент заплатил за связь в феврале?

Ответ: ____________

3 В скольких месяцах абонент не вышел за пределы пакета ни по минутам, ни по гигабайтам?

Ответ: ____________

4 Сколько рублей за полгода абонент заплатил сверх абонентской платы?

Ответ: ____________

5 Абоненту предлагают другой тариф: абонентская плата 600 рублей, в пакете 400 минут и 12 гигабайт, цены сверх пакета те же. Сколько рублей он заплатил бы по этому тарифу за те же полгода?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 3,7 + 110.

Ответ: ____________

7 Какое из данных чисел принадлежит отрезку [4; 5]?

1. 4711
2. 6411
3. 7211
4. 8611

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения 3² · 3⁴3³.

Ответ: ____________

9 Найдите корень уравнения 6(x + 2) = −48.

Ответ: ____________

10 На рисунке — диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов ей принадлежит. Найдите вероятность события A ∪ B.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1. y = −x² + 2
2. y = 2x
3. y = −x

Ответ: ____________

12 Площадь четырёхугольника можно найти по формуле S = d1d2 sin α2, где d1 и d2 — длины его диагоналей, α — угол между ними. Найдите d1, если d2 = 12, sin α = 35, а S = 18.

Ответ: ____________

13 Укажите решение системы неравенств: 3x + 3 ≥ 0 и 3x − 9 ≤ 0.

Ответ: ____________

14 Масса радиоактивного изотопа уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начале наблюдения она составляла 48 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Ответ: ____________

15 Медиана равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.

Ответ: ____________

16 Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 8. Найдите сторону квадрата.

Ответ: ____________

17 Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены две точки. Найдите расстояние между ними.

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.
2. Существует треугольник со сторонами 1, 2 и 4.
3. Каждая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

Ответ: ____________

20 Решите уравнение x³ + 6x² = 25x + 150.

21 Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, большей скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

22 Постройте график функции y = x|x| − 4x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 35. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

24 Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

25 Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. Прямая, проведённая через вершину B перпендикулярно прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD, если AB = 60, AC = 75.

20 Решите уравнение x³ + 6x² = 25x + 150.

1. Перенеси всё влево: x³ + 6x² − 25x − 150 = 0
2. Сгруппируй попарно: x²(x + 6) − 25(x + 6) = 0
3. Вынеси общий множитель: (x + 6)(x² − 25) = 0, то есть (x + 6)(x − 5)(x + 5) = 0
4. Корни: −6; −5; 5. Наименьший из них: −6

21 Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, большей скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

1. Пусть скорость первого x км/ч, а весь путь равен 2S (половина — S). Первый был в пути 2S : x часов
2. Второй: S78 + Sx + 7. Времена равны: 2Sx = S78 + Sx + 7
3. Раздели на S и умножь на 78x(x + 7): 156(x + 7) = x(x + 7) + 78x, то есть x² − 71x − 1092 = 0
4. Дискриминант: 5041 + 4368 = 9409 = 97². Корни: x = 71 − 972 = −13 и x = 71 + 972 = 84
5. Скорость не бывает отрицательной, подходит только x = 84

22 Постройте график функции y = x|x| − 4x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскрой модуль. При x ≥ 0 модуль равен x: y = x² − 4x. При x < 0 модуль равен −x: y = −x² − 4x
2. Справа от нуля — парабола ветвями вверх с вершиной (2; −4). Слева — парабола ветвями вниз с вершиной (−2; 4). В точке x = 0 обе дают 0: график не рвётся
3. Прямая y = m горизонтальна. Между вершинами она пересекает график трижды, выше верхней и ниже нижней — один раз, а ровно через вершину — дважды
4. Две общие точки при m = −4 и m = 4. Ответ: m = −4; m = 4

23 Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 35. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. Второй катет по теореме Пифагора: √(1225 − 441) = 28
2. Площадь треугольника через катеты: 12 · 21 · 28 = 294
3. Та же площадь через гипотенузу и высоту к ней: 12 · 35 · h = 294
4. h = 588 : 35 = 16,8

24 Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

1. Углы CBD и BDA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD
2. Сравни стороны, образующие эти углы: в треугольнике CBD это BC и BD, в треугольнике BDA — BD и AD. BCBD = 416 = 14 и BDAD = 1664 = 14
3. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны. По второму признаку подобия треугольники CBD и BDA подобны

25 Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. Прямая, проведённая через вершину B перпендикулярно прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD, если AB = 60, AC = 75.

1. Обозначь угол ACB буквой γ. Он вписанный и опирается на дугу AB. Центральный угол AOB опирается на ту же дугу, поэтому он равен 2γ (треугольник остроугольный, центр O лежит внутри него)
2. Треугольник AOB равнобедренный: OA и OB — радиусы. Углы при его основании равны: угол OAB = (180° − 2γ) : 2 = 90° − γ
3. Пусть прямая BD пересекает прямую AO в точке H. В прямоугольном треугольнике ABH угол ABH равен 90° − (90° − γ) = γ. Получилось, что угол ABD равен углу ACB
4. У треугольников ABD и ACB угол A общий, а углы ABD и ACB равны: треугольники подобны по двум углам. Из подобия ADAB = ABAC, откуда AD = AB²AC = 360075 = 48
5. CD = AC − AD = 75 − 48 = 27