Вариант 12 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Шины какой наибольшей ширины можно ставить на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

2 Найдите высоту боковины шины 195/55 R15. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

3 Найдите диаметр колеса с шиной 195/60 R14. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

4 На сколько миллиметров радиус колеса с шиной 195/55 R15 больше радиуса колеса с шиной 175/60 R15?

Ответ: ____________

5 На сколько процентов увеличится путь, который автомобиль проходит за один оборот колеса, если шины 175/60 R15 заменить шинами 195/55 R15? Ответ округлите до десятых.

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 1,2 − 1625.

Ответ: ____________

7 На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих неравенств верно?

1. ab² > 0
2. a²b > 0
3. a − b < 0
4. ab < 0

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения (a⁴)⁴a¹⁷ при a = 10.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение x² = 11x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ: ____________

10 На рисунке — диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов ей принадлежит. Найдите вероятность события A̅ ∪ B.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1. y = x
2. y = −x² + 3
3. y = 2x

Ответ: ____________

12 Мощность постоянного тока в ваттах вычисляют по формуле P = I²R, где I — сила тока в амперах, R — сопротивление в омах. Найдите R, если P = 46 и I = 2.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства −6x − 6 ≥ −42.

Ответ: ____________

14 Масса радиоактивного изотопа уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начале наблюдения она составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол A равен 26°, угол B равен 77°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 2.

Ответ: ____________

17 Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 16° и 58°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. В любой прямоугольник можно вписать окружность.
2. Все равнобедренные треугольники подобны.
3. Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство (x − 1)² < √10 · (x − 1).

21 Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 72 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 6 км/ч. По пути он сделал остановку на 1 час, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

22 Постройте график функции, заданной так: y = −9x при x < −3; y = x² + 4x + 6 при x ≥ −3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 3 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

24 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

25 В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Найдите AH, если BC = 10, B1C1 = 6.

20 Решите неравенство (x − 1)² < √10 · (x − 1).

1. Перенеси всё влево: (x − 1)² − √10 · (x − 1) < 0
2. Вынеси общий множитель: (x − 1)(x − 1 − √10) < 0
3. Корни: 1 и 1 + √10. Произведение отрицательно между ними: (1; 1 + √10)
4. Ответ: (1; 1 + √10)

21 Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 72 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 6 км/ч. По пути он сделал остановку на 1 час, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

1. Пусть скорость на пути из В в А равна x км/ч, тогда из А в В он ехал со скоростью (x − 6) км/ч
2. Время туда равно времени обратно вместе с остановкой: 72x − 6 = 72x + 1
3. Умножь на x(x − 6): 432 = x(x − 6), то есть x² − 6x − 432 = 0
4. Дискриминант: 36 + 1728 = 1764 = 42². Корни: x = 6 − 422 = −18 и x = 6 + 422 = 24
5. Скорость не бывает отрицательной, подходит только x = 24. Проверка: туда 72 : 18 = 4 ч, обратно 72 : 24 + 1 = 3 + 1 = 4 ч

22 Постройте график функции, заданной так: y = −9x при x < −3; y = x² + 4x + 6 при x ≥ −3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. При x < −3 график — часть гиперболы y = −9x. Здесь y > 0. Чем дальше от нуля, тем ближе эта ветвь к оси x, но оси она не касается; а к границе x = −3 она подходит на высоте 9 : 3 = 3
2. При x ≥ −3 график — часть параболы y = x² + 4x + 6 с вершиной (−2; 2); вершина лежит в этом промежутке. При x = −3 парабола даёт 3: части сходятся в точке (−3; 3), и эта точка принадлежит параболе
3. Гипербола принимает каждое значение между 0 и 3 по одному разу. Парабола принимает значение 2 один раз (в вершине), значения больше 2, но не больше 3, — по два раза, значения больше 3 — по одному
4. Сложи. При m ≤ 0 общих точек нет; при 0 < m < 2 — одна; при m = 2 — две; при 2 < m < 3 — три; при m = 3 — две; выше — одна
5. Две общие точки при m = 2 и m = 3. Ответ: m = 2; m = 3

23 Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 3 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

1. Сторона ромба: CD = DH + CH = 3 + 2 = 5. Все стороны ромба равны, поэтому AD = 5
2. AH — высота, значит, треугольник ADH прямоугольный с гипотенузой AD
3. По теореме Пифагора: AH² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
4. AH = 4

24 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

1. Углы CDB и CAB опираются на отрезок BC, а их вершины — точки A и D — лежат по одну сторону от прямой BC, потому что четырёхугольник выпуклый
2. Если из двух точек, лежащих по одну сторону от прямой, отрезок виден под равными углами, то эти точки и концы отрезка лежат на одной окружности. Значит, точки A, B, C, D лежат на одной окружности
3. Углы BCA и BDA вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу AB
4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны: углы BCA и BDA равны

25 В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Найдите AH, если BC = 10, B1C1 = 6.

1. В прямоугольном треугольнике ABB1 катет AB1 прилежит к углу A: AB1 = AB · cos A. Так же в треугольнике ACC1: AC1 = AC · cos A
2. У треугольников AB1C1 и ABC угол A общий, а стороны, которые его образуют, пропорциональны: AB1 : AB = AC1 : AC = cos A. Треугольники подобны по второму признаку с коэффициентом cos A
3. Значит, B1C1 = BC · cos A, откуда cos A = 610 = 35. Угол A острый, его синус положителен: sin² A = 1 − cos² A, sin A = 45
4. Углы AB1H и AC1H прямые, поэтому точки B1 и C1 лежат на окружности с диаметром AH. Эта окружность описана около треугольника AB1C1
5. По теореме синусов для треугольника AB1C1 сторона B1C1, делённая на синус противолежащего угла A, равна диаметру: AH = 6 : 45 = 7,5