Вариант 6 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Определите, какими цифрами на плане обозначены помещения: коридор, кухня, гостиная, санузел. В ответ запишите четыре цифры подряд в этом порядке, без пробелов и запятых.

Ответ: ____________

2 Паркетная доска размером 25 см на 100 см продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок понадобилось, чтобы выложить пол в спальне?

Ответ: ____________

3 Найдите площадь спальни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ: ____________

4 На сколько процентов площадь санузла больше площади кладовой?

Ответ: ____________

5 Нужна стиральная машина, у которой загрузка вертикальная, а вместимость не меньше 6 кг. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый подходящий вариант вместе с подключением и доставкой?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 2,4 + 110.

Ответ: ____________

7 Какое из данных чисел принадлежит отрезку [7; 8]?

1. 409
2. 479
3. 579
4. 699

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения (√6 − 5)² + 10√6.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение 4x + 12 = 20.

Ответ: ____________

10 Вероятность того, что автобус окажется переполненным, равна 0,11. Найдите вероятность того, что в автобусе найдётся свободное место.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1. y = −4x
2. y = −x² + 2
3. y = 2x

Ответ: ____________

12 Потенциальную энергию тела (в джоулях), поднятого над землёй, находят по формуле E = mgh, где m — масса тела в килограммах, h — высота в метрах, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения. Найдите массу тела, которое на высоте 4 м обладает потенциальной энергией 392 Дж. Ответ дайте в килограммах.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства −2x − 3 > x − 15.

1. (4; +∞)
2. (−4; +∞)
3. (−∞; 4)
4. (−∞; −4)

Ответ: ____________

14 В геометрической прогрессии (bn) первый член b1 = 2, знаменатель q = 3. Найдите b6.

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол A равен 37°, угол B равен 60°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 61°, угол CAD равен 23°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

17 Периметр квадрата равен 24. Найдите площадь этого квадрата.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. Каждая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
2. Любой квадрат является ромбом.
3. Диагонали ромба равны.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство (x² − 49)(x² − 9) ≤ 0.

21 Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 175 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 24 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

22 Постройте график функции y = 7|x| − 22|x| − 7x². Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

23 Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

24 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1 равны.

25 Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. Прямая, проведённая через вершину B перпендикулярно прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD, если AB = 56, AC = 98.

20 Решите неравенство (x² − 49)(x² − 9) ≤ 0.

1. Корни первого трёхчлена: −7 и 7. Корни второго: −3 и 3
2. Отметь на прямой четыре точки: −7, −3, 3, 7. Все закрашены, неравенство нестрогое
3. При больших x обе скобки положительны — справа стоит «+», дальше знаки чередуются: +, −, +, −, +
4. Минус — на отрезках [−7; −3] и [3; 7]. Ответ: [−7; −3] ∪ [3; 7]

21 Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 175 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 24 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

1. Пусть второй ехал до встречи t часов. Первый был в движении на 28 минут меньше: t − 2860 часа
2. Вместе они проехали всё расстояние: 15(t − 2860) + 24t = 175
3. 39t = 175 + 7, откуда t = 182 : 39 = 143 ч
4. Второй проехал 24 · 143 = 112 км

22 Постройте график функции y = 7|x| − 22|x| − 7x². Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

1. Замени x² на |x|² и разложи знаменатель: 2|x| − 7|x|² = |x| · (2 − 7|x|). Он не равен нулю: x ≠ 0, x ≠ 27 и x ≠ −27
2. Числитель отличается от скобки знаком: 7|x| − 2 = −(2 − 7|x|). При допустимых x дробь сокращается: y = −1|x|
3. При x > 0 это y = −1x, при x < 0 это y = 1x: две ветви под осью x, симметричные относительно оси y. Выколоты точки (27; −72) и (−27; −72)
4. Прямая y = kx проходит через начало координат. При k = 0 это ось x: график лежит ниже неё, общих точек нет. При k > 0 прямая идёт в третьей четверти и пересекает левую ветвь один раз, при k < 0 — правую ветвь один раз
5. Эта единственная точка пропадает, только если она выколота. Для левой точки: −72 = k · (−27), k = 494. Для правой k = −494
6. Общих точек нет при k = −12,25, k = 0 и k = 12,25. Наибольшее из них: 12,25

23 Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. Второй катет по теореме Пифагора: √(400 − 144) = 16
2. Площадь треугольника через катеты: 12 · 12 · 16 = 96
3. Та же площадь через гипотенузу и высоту к ней: 12 · 20 · h = 96
4. h = 192 : 20 = 9,6

24 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1 равны.

1. Высоты перпендикулярны сторонам, поэтому из точек A1 и C1 отрезок AC виден под прямым углом
2. Точка, из которой отрезок виден под прямым углом, лежит на окружности с этим отрезком как диаметром. Значит, точки A1 и C1 лежат на окружности с диаметром AC — вместе с его концами
3. Углы CC1A1 и CAA1 вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу A1C
4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны

25 Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. Прямая, проведённая через вершину B перпендикулярно прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD, если AB = 56, AC = 98.

1. Обозначь угол ACB буквой γ. Он вписанный и опирается на дугу AB. Центральный угол AOB опирается на ту же дугу, поэтому он равен 2γ (треугольник остроугольный, центр O лежит внутри него)
2. Треугольник AOB равнобедренный: OA и OB — радиусы. Углы при его основании равны: угол OAB = (180° − 2γ) : 2 = 90° − γ
3. Пусть прямая BD пересекает прямую AO в точке H. В прямоугольном треугольнике ABH угол ABH равен 90° − (90° − γ) = γ. Получилось, что угол ABD равен углу ACB
4. У треугольников ABD и ACB угол A общий, а углы ABD и ACB равны: треугольники подобны по двум углам. Из подобия ADAB = ABAC, откуда AD = AB²AC = 313698 = 32
5. CD = AC − AD = 98 − 32 = 66