Вариант 17 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Определите, какими цифрами на плане обозначены объекты: баня, жилой дом, сарай, теплица. В ответ запишите четыре цифры подряд в этом порядке, без пробелов и запятых.

Ответ: ____________

2 Плитку для площадки покупали упаковками по 9 штук. Сколько упаковок понадобилось, чтобы вымостить всю площадку?

Ответ: ____________

3 Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ: ____________

4 Найдите расстояние от жилого дома до теплицы — между двумя ближайшими точками по прямой. Ответ дайте в метрах.

Ответ: ____________

5 Газовое отопление дороже купить и установить, зато дешевле в работе. Через сколько часов непрерывной работы экономия на газе покроет разницу в стоимости покупки и установки?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 18 · 35.

Ответ: ____________

7 Между какими целыми числами заключено число √63?

1. 7 и 8
2. 8 и 9
3. 9 и 10
4. 10 и 11

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения a¹⁰ · (b⁶)²(a · b)¹⁰ при a = 3 и b = √3.

Ответ: ____________

9 Найдите корень уравнения 4(x − 7) = −52.

Ответ: ____________

10 На рисунке — диаграмма Эйлера для случайных событий A и B. В каждой из четырёх областей указана вероятность того, что исход опыта попадёт в эту область. Найдите вероятность события A̅.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций вида y = kx и формулами, которые их задают.

1. y = 4x
2. y = 1x
3. y = −1x

Ответ: ____________

12 Силу Архимеда (в ньютонах), которая действует на тело, погружённое в воду, находят по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения, V — объём тела в кубических метрах. Найдите силу Архимеда для тела объёмом 0,36 м³. Ответ дайте в ньютонах.

Ответ: ____________

13 Укажите решение системы неравенств: 2x + 6 > 0 и −2x − 2 > 0.

Ответ: ____________

14 В питательную среду поместили колонию микроорганизмов массой 11 мг. Каждые 15 минут масса колонии увеличивается вдвое. Найдите массу колонии через 45 минут после начала опыта. Ответ дайте в миллиграммах.

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 5, AC = 7. Найдите tg B.

Ответ: ____________

16 Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: ____________

17 Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 7 и 14. Найдите меньшее основание.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
2. Около любого треугольника можно описать окружность.
3. Площадь ромба равна произведению его диагоналей.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство x ≤ 16x.

21 Свежие фрукты содержат 90% воды, а высушенные — 14%. Сколько свежих фруктов нужно, чтобы получить 20 кг высушенных? Ответ дайте в килограммах.

22 Постройте график функции y = x² − |4x + 2| + 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

23 Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 8, CK = 4.

24 Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

25 Окружности радиусов 10 и 15 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

20 Решите неравенство x ≤ 16x.

1. Перенеси всё влево и приведи к общему знаменателю: x² − 16x ≤ 0
2. Разложи числитель: (x − 4)(x + 4)x ≤ 0. Отметь на прямой точки −4, 0 и 4; ноль — выколотая точка
3. Знаки на промежутках чередуются: «−» при x < −4, «+» от −4 до 0, «−» от 0 до 4, «+» при x > 4
4. Нужны промежутки с минусом и точки, где числитель равен нулю: (−∞; −4] ∪ (0; 4]. Ответ: (−∞; −4] ∪ (0; 4]

21 Свежие фрукты содержат 90% воды, а высушенные — 14%. Сколько свежих фруктов нужно, чтобы получить 20 кг высушенных? Ответ дайте в килограммах.

1. При сушке уходит только вода. Масса «сухого вещества» — всего, что не вода, — не меняется
2. В высушенных фруктах сухого вещества 100% − 14% = 86%: 20 · 0,86 = 17,2 кг
3. В свежих оно составляет 100% − 90% = 10% массы
4. 17,2 : 0,1 = 172

22 Постройте график функции y = x² − |4x + 2| + 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Выражение под модулем равно нулю при x = −0,5. При x ≥ −0,5 оно неотрицательно, модуль его не меняет: y = x² − (4x + 2) + 2 = x² − 4x. При x < −0,5 модуль меняет его знак: y = x² + 4x + 4
2. Справа — парабола с вершиной (2; −4), слева — парабола с вершиной (−2; 0); обе вершины лежат в своих промежутках. При x = −0,5 обе формулы дают 2,25: там график не рвётся, а образует излом — «пик» между двумя «ямами»
3. Двигай прямую y = m снизу вверх. Ниже −4 общих точек нет; при m = −4 — одна; между −4 и 0 — две; при m = 0 — три: вершина одной параболы и две точки другой; между 0 и 2,25 — четыре; при m = 2,25 — три: излом и по точке на каждой внешней ветви; выше — две
4. Три общие точки при m = 0 и m = 2,25. Ответ: m = 0; m = 2,25

23 Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 8, CK = 4.

1. Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AK
2. AK — биссектриса, поэтому углы KAD и BAK равны. Значит, в треугольнике ABK углы при стороне AK равны: он равнобедренный
3. AB = BK = 8. BC = BK + CK = 8 + 4 = 12
4. Периметр: 2 · (8 + 12) = 40

24 Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

1. Проведи через точку K прямую, параллельную стороне AB. Пусть она пересекает прямые AD и BC в точках P и Q
2. Треугольники KDP и KCQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: KD = KC (K — середина CD), углы DKP и CKQ вертикальные, углы KDP и KCQ накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD
3. Четырёхугольник ABQP — параллелограмм: стороны AB и PQ параллельны по построению, а стороны AP и BQ лежат на параллельных прямых AD и BC
4. Трапеция и параллелограмм ABQP отличаются только треугольниками KDP и KCQ: один из них входит в трапецию, другой — в параллелограмм, остальное у них общее. Треугольники равны, поэтому площадь трапеции равна площади параллелограмма
5. У треугольника KAB и параллелограмма ABQP общее основание AB, а высоты к нему равны: точка K лежит на стороне PQ, параллельной AB. Значит, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, то есть половине площади трапеции

25 Окружности радиусов 10 и 15 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

1. Пусть O1 и O2 — центры, O1O2 = 10 + 15 = 25. Радиусы O1A и O2C перпендикулярны касательной AC, поэтому они параллельны
2. Проведи через O1 прямую, параллельную AC, до пересечения с O2C в точке H. В прямоугольном треугольнике O1HO2 катет O2H равен 15 − 10 = 5, гипотенуза — 25. Косинус угла между радиусами и линией центров равен 525
3. Касательные AC и BD пересекаются в точке P на линии центров: центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. PA = PB как отрезки касательных, O1A = O1B как радиусы, поэтому прямая PO1 — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Так же она перпендикулярна CD: прямые AB и CD перпендикулярны линии центров
4. Точка A смещена от O1 вдоль линии центров на 10 · 525 в сторону от O2, точка C от O2 — на 15 · 525 в ту же сторону
5. Расстояние между прямыми: 25 + 10 · 525 − 15 · 525 = 25 − 2525 = 60025 = 24