Вариант 5 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Под каким номером в таблице записан лист формата A4?

Ответ: ____________

2 Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A1?

Ответ: ____________

3 Найдите длину большей стороны листа формата A3. Ответ дайте в миллиметрах.

Ответ: ____________

4 Найдите площадь листа формата A2. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: ____________

5 Бумагу формата A3 упаковали в пачку из 500 листов. Найдите массу пачки, если лист бумаги площадью 1 кв. м весит 80 г. Ответ дайте в граммах.

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 35 · 910.

Ответ: ____________

7 На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений об этом числе верно?

1. a + 3 > 0
2. a + 4 > 0
3. −2 − a < 0
4. a + 2 > 0

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения 2⁻⁴ · 2⁷.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение x² = −3x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Ответ: ____________

10 На рисунке — диаграмма Эйлера для случайных событий A и B. В каждой из четырёх областей указана вероятность того, что исход опыта попадёт в эту область. Найдите вероятность события A̅ ∪ B.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций вида y = kx и формулами, которые их задают.

1. y = −1x
2. y = 1x
3. y = −4x

Ответ: ____________

12 Кинетическую энергию тела (в джоулях) находят по формуле E = mv²2, где m — масса тела в килограммах, v — его скорость в метрах в секунду. Тело массой 2 кг обладает кинетической энергией 49 Дж. Найдите его скорость. Ответ дайте в метрах в секунду.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства −5x + 1 ≥ 11.

Ответ: ____________

14 В питательную среду поместили колонию микроорганизмов массой 15 мг. Каждые 20 минут масса колонии увеличивается вдвое. Найдите массу колонии через 80 минут после начала опыта. Ответ дайте в миллиграммах.

Ответ: ____________

15 Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите высоту этого треугольника.

Ответ: ____________

16 Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность. Угол A равен 62°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

17 В прямоугольнике одна сторона равна 4, а диагональ равна 5. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого она проведена.
2. В любой треугольник можно вписать окружность.
3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Ответ: ____________

20 Решите уравнение x² − 4x + √(3 − x) = √(3 − x) + 5.

21 Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 40 км/ч, а последние 360 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

22 Постройте график функции y = 5x − 25x² − 2x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

23 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 20, AC = 32, NC = 15.

24 Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

25 Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 16, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 99° и 141°.

20 Решите уравнение x² − 4x + √(3 − x) = √(3 − x) + 5.

1. Корень √(3 − x) существует только при 3 − x ≥ 0, то есть при x ≤ 3. Это условие нужно записать до упрощения
2. При таких x корни в обеих частях одинаковы и сокращаются: x² − 4x = 5
3. x² − 4x − 5 = 0. Корни: −1 и 5
4. Условию x ≤ 3 удовлетворяет только −1

21 Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 40 км/ч, а последние 360 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

1. Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Это не среднее арифметическое скоростей
2. Время на участках: 140 : 70 = 2 ч, 120 : 40 = 3 ч, 360 : 120 = 3 ч
3. Весь путь: 140 + 120 + 360 = 620 км. Всё время: 2 + 3 + 3 = 8 ч
4. 620 : 8 = 77,5

22 Постройте график функции y = 5x − 25x² − 2x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Разложи знаменатель: 5x² − 2x = x(5x − 2). Он не равен нулю: x ≠ 0 и x ≠ 25
2. При таких x дробь сокращается: y = 1x. График — гипербола без точки с абсциссой 25: выколота точка (25; 52)
3. Прямая y = kx проходит через начало координат. При k ≤ 0 общих точек нет, при k > 0 их две — симметричные относительно начала координат
4. Одна общая точка получится, только если вторая попадает в выколотую: 52 = k · 25, откуда k = 254 = 6,25

23 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 20, AC = 32, NC = 15.

1. Треугольники MBN и ABC подобны по двум углам: угол B общий, углы BNM и BCA соответственные при параллельных MN и AC
2. Обозначь BN = x, тогда BC = x + 15. Из подобия: xx + 15 = 2032
3. 32x = 20x + 300, то есть 12x = 300
4. x = 25

24 Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

1. K — середина BC, поэтому CK — половина BC. По условию половина BC равна CD: CK = CD
2. Значит, треугольник с вершинами D, C, K равнобедренный, и углы при его основании DK равны
3. Сторона BC параллельна стороне AD, DK — секущая: угол при вершине K в этом треугольнике равен накрест лежащему углу между DK и стороной AD
4. Получается, что DK образует равные углы с двумя сторонами угла ADC. Значит, DK — его биссектриса

25 Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 16, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 99° и 141°.

1. Точка M равноудалена от вершин — она центр окружности, описанной около ABCD, а AD — её диаметр
2. Сумма углов четырёхугольника 360°: углы A и D вместе дают 360° − 99° − 141° = 120°
3. Треугольники AMB и DMC равнобедренные (их боковые стороны — радиусы): угол AMB равен 180° − 2A, угол DMC равен 180° − 2D. Вместе: 360° − 2 · 120° = 120°
4. Четырёхугольник выпуклый, поэтому его вершины идут по окружности в порядке A, B, C, D, и лучи MB и MC делят развёрнутый угол AMD на три угла: AMB, BMC и CMD. На угол BMC остаётся 180° − 120° = 60°. Треугольник BMC равнобедренный с углом 60° при вершине — он равносторонний: радиус равен BC = 16
5. AD — диаметр: 2 · 16 = 32