Вариант 15 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Сколько километров от деревни Сосновка до села Ключи, если ехать по шоссе?

Ответ: ____________

2 Найдите расстояние от деревни Сосновка до села Ключи по просёлочной дороге. Ответ дайте в километрах.

Ответ: ____________

3 Сколько минут Гриша потратит на дорогу из деревни Сосновка в село Ключи, если поедет по шоссе?

Ответ: ____________

4 Сколько минут Гриша потратит на дорогу из деревни Сосновка в село Ключи, если поедет по просёлочной дороге?

Ответ: ____________

5 Гриша доехал на велосипеде по шоссе до деревни Заречье, а оттуда до села Ключи — на автобусе, который идёт со скоростью 60 км/ч. Сколько минут заняла вся дорога?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 8,6 − 8,4.

Ответ: ____________

7 Какое из данных чисел принадлежит отрезку [8; 9]?

1. 509
2. 609
3. 709
4. 769

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения a¹² · a⁹ : a¹⁸ при a = 5.

Ответ: ____________

9 Найдите корень уравнения 3(x + 6) − 2(x − 6) = 12.

Ответ: ____________

10 В случайном опыте 25 равновозможных элементарных событий, из которых 20 благоприятствуют событию A. Вычислите вероятность события A̅.

Ответ: ____________

11 На рисунках изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.

1. a > 0, c < 0
2. a < 0, c < 0
3. a < 0, c > 0

Ответ: ____________

12 Кинетическую энергию тела (в джоулях) находят по формуле E = mv²2, где m — масса тела в килограммах, v — его скорость в метрах в секунду. Тело массой 8 кг обладает кинетической энергией 676 Дж. Найдите его скорость. Ответ дайте в метрах в секунду.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства (x + 5)(x − 8) ≤ 0.

Ответ: ____________

14 Резиновый мячик с силой ударили о пол. После первого отскока он поднялся на 4 м, а при каждом следующем отскоке поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую поднимется мячик, впервые станет меньше 20 см?

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC проведена биссектриса AK, причём AK = CK. Угол C равен 24°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 Периметр треугольника равен 60, одна из сторон равна 25, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: ____________

17 Диагональ прямоугольника образует угол 43° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Любой квадрат является прямоугольником.
2. В любой прямоугольник можно вписать окружность.
3. Точка серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалена от концов этого отрезка.

Ответ: ____________

20 Решите систему уравнений: 3x² + y = 50 и 5x² − y = 78.

21 Моторная лодка прошла против течения реки 189 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

22 Постройте график функции, заданной так: y = 2x + 3 при x < 0; y = x² − 4x + 3 при x ≥ 0. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

24 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

25 Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. Прямая, проведённая через вершину B перпендикулярно прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD, если AB = 70, AC = 98.

20 Решите систему уравнений: 3x² + y = 50 и 5x² − y = 78.

1. Сложи уравнения — y уничтожится: 8x² = 128
2. x² = 16, откуда x = 4 или x = −4
3. Подставь x² = 16 в первое уравнение: 48 + y = 50, y = 2
4. Решения: (4; 2) и (−4; 2). Значение y: 2

21 Моторная лодка прошла против течения реки 189 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

1. Пусть скорость лодки в неподвижной воде x км/ч. Против течения она идёт со скоростью x − 3, по течению — x + 3
2. Против течения дольше на 2 ч: 189x − 3 − 189x + 3 = 2
3. Умножь на (x − 3)(x + 3): 189(x + 3) − 189(x − 3) = 2(x² − 9), то есть 1134 = 2x² − 18
4. x² = 576, откуда x = 24 или x = −24. Скорость не бывает отрицательной: x = 24

22 Постройте график функции, заданной так: y = 2x + 3 при x < 0; y = x² − 4x + 3 при x ≥ 0. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Парабола y = x² − 4x + 3: ветви вверх, вершина в точке (2; −1). Число 2 входит в промежуток x ≥ 0, значит, вершина на графике есть
2. На границе, при x = 0, парабола даёт 3, и формула прямой y = 2x + 3 даёт 3. Части сходятся в точке (0; 3): график не рвётся
3. Иди по графику слева направо: прямая поднимается до точки (0; 3), дальше парабола опускается до вершины (2; −1) и снова идёт вверх
4. Прямая y = m ниже −1 или выше 3 встречает график один раз, между −1 и 3 — три раза, а на высоте вершины или точки стыка — два
5. Две общие точки при m = −1 и m = 3. Ответ: m = −1; m = 3

23 Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. Второй катет по теореме Пифагора: √(900 − 576) = 18
2. Площадь треугольника через катеты: 12 · 18 · 24 = 216
3. Та же площадь через гипотенузу и высоту к ней: 12 · 30 · h = 216
4. h = 432 : 30 = 14,4

24 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

1. Сравни треугольники ABD и ACD. У них общее основание AD, а высоты, проведённые к нему из вершин B и C, равны: обе равны расстоянию между параллельными прямыми BC и AD
2. Значит, площади треугольников ABD и ACD равны
3. Треугольник APD входит в каждый из них. Вычти его площадь: S(APB) = S(ABD) − S(APD), S(CPD) = S(ACD) − S(APD)
4. Из равных площадей вычли одно и то же — получили равные: S(APB) = S(CPD)

25 Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. Прямая, проведённая через вершину B перпендикулярно прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD, если AB = 70, AC = 98.

1. Обозначь угол ACB буквой γ. Он вписанный и опирается на дугу AB. Центральный угол AOB опирается на ту же дугу, поэтому он равен 2γ (треугольник остроугольный, центр O лежит внутри него)
2. Треугольник AOB равнобедренный: OA и OB — радиусы. Углы при его основании равны: угол OAB = (180° − 2γ) : 2 = 90° − γ
3. Пусть прямая BD пересекает прямую AO в точке H. В прямоугольном треугольнике ABH угол ABH равен 90° − (90° − γ) = γ. Получилось, что угол ABD равен углу ACB
4. У треугольников ABD и ACB угол A общий, а углы ABD и ACB равны: треугольники подобны по двум углам. Из подобия ADAB = ABAC, откуда AD = AB²AC = 490098 = 50
5. CD = AC − AD = 98 − 50 = 48