Вариант 16 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Сколько месяцев из шести абонент израсходовал больше минут, чем входит в пакет?

Ответ: ____________

2 Сколько рублей абонент заплатил за связь в марте?

Ответ: ____________

3 В скольких месяцах абонент не вышел за пределы пакета ни по минутам, ни по гигабайтам?

Ответ: ____________

4 Сколько рублей за полгода абонент заплатил сверх абонентской платы?

Ответ: ____________

5 Абоненту предлагают другой тариф: абонентская плата 500 рублей, в пакете 350 минут и 17 гигабайт, цены сверх пакета те же. Сколько рублей он заплатил бы по этому тарифу за те же полгода?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения (12 + 710) · 10.

Ответ: ____________

7 Какое из следующих чисел заключено между числами 17 и 27?

1. 0,1
2. 0,2
3. 0,3
4. 0,4

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения 4√3 · 5√2 · √6.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение x² + 2x − 63 = 0. Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.

Ответ: ____________

10 В магазине 40 ручек: 7 красных, 17 зелёных, остальные — синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная ручка окажется зелёной или синей.

Ответ: ____________

11 На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов k и b.

1. k < 0, b < 0
2. k > 0, b < 0
3. k > 0, b > 0

Ответ: ____________

12 Потенциальную энергию тела (в джоулях), поднятого над землёй, находят по формуле E = mgh, где m — масса тела в килограммах, h — высота в метрах, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения. Найдите массу тела, которое на высоте 2 м обладает потенциальной энергией 39,2 Дж. Ответ дайте в килограммах.

Ответ: ____________

13 Укажите решение системы неравенств: 2x + 16 ≤ 0 и x + 7 ≥ 0.

1. (−∞; −8]
2. нет решений
3. [−8; −7]
4. [−7; +∞)

Ответ: ____________

14 Водитель автомобиля нажал на тормоз. За первую секунду после этого автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую — на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль проехал за первые 6 секунд торможения?

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC сторона AC равна 4, а высота BH, проведённая к ней, равна 3. Найдите площадь треугольника.

Ответ: ____________

16 Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 22°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

17 Основания трапеции равны 2 и 4. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы.

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести две прямые, параллельные этой прямой.
2. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
3. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Ответ: ____________

20 Решите уравнение x³ + 2x² = 49x + 98.

21 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 30 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего навстречу поезду параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 24 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

22 Постройте график функции y = |x| · (x + 2) − 4x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.

24 Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 1 и 4, BD = 2. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

25 Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два треугольника. В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Известно, что OA = 13, расстояние от точки O до прямой AD равно 10, а до прямой AC — 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

20 Решите уравнение x³ + 2x² = 49x + 98.

1. Перенеси всё влево: x³ + 2x² − 49x − 98 = 0
2. Сгруппируй попарно: x²(x + 2) − 49(x + 2) = 0
3. Вынеси общий множитель: (x + 2)(x² − 49) = 0, то есть (x + 2)(x − 7)(x + 7) = 0
4. Корни: −7; −2; 7. Наименьший из них: −7

21 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 30 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего навстречу поезду параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 24 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

1. Нужна скорость поезда относительно пешехода. Пешеход идёт навстречу, поэтому скорости складываются: 30 + 6 = 36 км/ч
2. Переведи в метры в секунду: 36 · 1000 : 3600 = 10 м/с
3. За 24 с мимо пешехода проходит весь поезд: 10 · 24 = 240

22 Постройте график функции y = |x| · (x + 2) − 4x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскрой модуль. При x ≥ 0 модуль равен x: y = x² − 2x. При x < 0 модуль равен −x: y = −x² − 6x
2. Справа от нуля — парабола ветвями вверх с вершиной (1; −1). Слева — парабола ветвями вниз с вершиной (−3; 9). В точке x = 0 обе дают 0: график не рвётся
3. Прямая y = m горизонтальна. Между вершинами она пересекает график трижды, выше верхней и ниже нижней — один раз, а ровно через вершину — дважды
4. Две общие точки при m = −1 и m = 9. Ответ: m = −1; m = 9

23 Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.

1. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Радиус, половина хорды и этот перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник
2. Для хорды AB: половина равна 7, расстояние 24. Радиус: √(49 + 576) = 25
3. Для хорды CD: радиус 25, расстояние 7. Половина хорды: √(625 − 49) = 24
4. CD = 2 · 24 = 48

24 Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 1 и 4, BD = 2. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

1. Углы CBD и BDA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD
2. Сравни стороны, образующие эти углы: в треугольнике CBD это BC и BD, в треугольнике BDA — BD и AD. BCBD = 12 и BDAD = 24 = 12
3. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны. По второму признаку подобия треугольники CBD и BDA подобны

25 Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два треугольника. В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Известно, что OA = 13, расстояние от точки O до прямой AD равно 10, а до прямой AC — 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

1. Расстояние от центра вписанной окружности до стороны треугольника — её радиус: r = 5. До прямой BC от точки O тоже 5
2. Прямые BC и AD параллельны, точка O лежит между ними (она внутри треугольника ABC). Расстояние между этими прямыми — высота параллелограмма: h = 10 + 5 = 15
3. Пусть окружность касается стороны AC в точке K. Радиус OK перпендикулярен AC, и в прямоугольном треугольнике AOK: AK² = 13² − 5² = 144, AK = 12
4. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Из вершины A идут два отрезка по 12, а отрезки из вершин B и C вместе составляют сторону BC и входят в периметр дважды. Поэтому полупериметр треугольника ABC равен 12 + BC
5. Запиши площадь треугольника ABC двумя способами: через радиус вписанной окружности, 5 · (12 + BC), и через сторону BC и высоту к ней, 12 · BC · 15. Приравняй и умножь на 2: 120 + 10 · BC = 15 · BC, откуда 5 · BC = 120, BC = 24
6. Площадь параллелограмма: BC · h = 24 · 15 = 360