Вариант 19 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на карте обозначены населённые пункты: Луговое, Ключи, Сосновка. В ответ запишите три цифры подряд в этом порядке, без пробелов и запятых.

Ответ: ____________

2 Найдите расстояние от деревни Ольховка до села Луговое по шоссе. Ответ дайте в километрах.

Ответ: ____________

3 Найдите расстояние от деревни Ольховка до села Луговое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Ответ: ____________

4 Сколько минут Миша затратит на дорогу из деревни Ольховка в деревню Сосновка, если поедет по шоссе?

Ответ: ____________

5 Миша хочет добраться из деревни Ольховка в село Луговое как можно быстрее. Сколько минут займёт самый быстрый из двух путей?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 2,3 · 0,5 − 0,3.

Ответ: ____________

7 Одно из данных чисел отмечено на координатной прямой точкой A. Какое это число?

1. 249
2. 329
3. 419
4. 499

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения √10 · √18√5.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение 3x² = −15x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ: ____________

10 На рисунке — диаграмма Эйлера для случайных событий A и B. Точками показаны все элементарные события опыта, около каждого записана его вероятность. Найдите вероятность события A̅.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками квадратичных функций и формулами, которые их задают.

1. y = x² − 4x + 3
2. y = −x² − 4x − 3
3. y = x² + 4x + 3

Ответ: ____________

12 Фирма «Ключевая вода» считает стоимость колодца из бетонных колец (в рублях) по формуле C = 5500 + 4000n, где n — число колец. Сколько рублей стоит колодец из 5 колец?

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства −2x − 9 ≥ −5.

Ответ: ____________

14 В первом ряду амфитеатра 14 мест, а в каждом следующем на 1 место больше, чем в предыдущем. Всего в амфитеатре 8 рядов. Сколько в нём мест?

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, AB = 10. Найдите sin B.

Ответ: ____________

16 Диагональ AC ромба ABCD равна 30, а tg BCA = 129. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: ____________

17 В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол D равен 48°. Найдите угол ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Сумма вертикальных углов всегда равна 180°.
2. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
3. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство x² − 8x + 15x − 3 ≤ 0.

21 Первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй, и выполняет заказ из 90 деталей на 1 ч быстрее, чем второй рабочий — такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

22 Постройте график функции y = (x² + 2x)(x + 4)x + 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

23 Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 64, AC = 100.

24 Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P, а биссектрисы углов C и D — в точке Q. Найдите PQ, если AB = 23, CD = 21, а средняя линия трапеции равна 32.

20 Решите неравенство x² − 8x + 15x − 3 ≤ 0.

1. Знаменатель не равен нулю: x ≠ 3
2. Разложи числитель: x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5)
3. При x ≠ 3 дробь сокращается: x − 5 ≤ 0, то есть x ≤ 5
4. Убери из этого луча точку 3: (−∞; 3) ∪ (3; 5]. Ответ: (−∞; 3) ∪ (3; 5]

21 Первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй, и выполняет заказ из 90 деталей на 1 ч быстрее, чем второй рабочий — такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

1. Пусть первый делает x деталей в час, тогда второй — (x − 3)
2. Второй работает на 1 ч дольше: 90x − 3 − 90x = 1
3. Умножь на x(x − 3): 270 = x(x − 3), то есть x² − 3x − 270 = 0
4. Дискриминант: 9 + 1080 = 1089 = 33². Корни: x = 3 − 332 = −15 и x = 3 + 332 = 18
5. Число деталей в час не бывает отрицательным, подходит только x = 18. Проверка: 90 : 15 − 90 : 18 = 6 − 5 = 1

22 Постройте график функции y = (x² + 2x)(x + 4)x + 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Знаменатель не равен нулю: x ≠ −4. При таких x дробь сокращается на скобку: y = x² + 2x
2. График — парабола ветвями вверх с вершиной (−1; −1), но без точки с абсциссой −4. Подставь x = −4 в y = x² + 2x: выколота точка (−4; 8)
3. Прямая y = m ниже вершины с параболой не встречается, через вершину — имеет одну общую точку, выше — две, симметричные относительно оси параболы x = −1
4. Но на высоте 8 одна из этих двух точек выколота, и общая точка остаётся одна
5. Одна общая точка при m = −1 и m = 8. Ответ: m = −1; m = 8

23 Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 64, AC = 100.

1. Треугольники ABH и ACB подобны: оба прямоугольные, угол A у них общий
2. Из подобия: ABAC = AHAB, то есть AB² = AH · AC
3. AB² = 64 · 100 = 6400
4. AB = 80

24 Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.

1. Рассмотри треугольники AOE и COF. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: AO = CO
2. Углы AOE и COF равны как вертикальные
3. Углы OAE и OCF равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC
4. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, равны и соответствующие стороны: AE = CF

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P, а биссектрисы углов C и D — в точке Q. Найдите PQ, если AB = 23, CD = 21, а средняя линия трапеции равна 32.

1. Углы A и B трапеции — односторонние при параллельных основаниях и секущей AB, их сумма 180°. Биссектрисы делят их пополам: углы PAB и PBA вместе дают 90°. Значит, угол APB прямой. Так же прямой и угол CQD
2. Пусть M — середина AB. В прямоугольном треугольнике APB медиана PM, проведённая к гипотенузе, равна её половине: PM = AM = AB2 = 11,5
3. Треугольник AMP равнобедренный, поэтому угол MPA равен углу MAP. А угол MAP равен углу PAD: AP — биссектриса. Углы MPA и PAD накрест лежащие при прямых MP и AD и секущей AP; они равны, значит, MP параллельна AD. Через середину боковой стороны параллельно основаниям идёт средняя линия — точка P лежит на ней
4. Так же для второй боковой стороны: если N — середина CD, то точка Q лежит на средней линии и QN = CD2 = 10,5
5. На средней линии MN = 32 точки идут в порядке M, P, Q, N, потому что 11,5 + 10,5 меньше 32. PQ = MN − PM − QN = 32 − 11,5 − 10,5 = 10