Вариант 2 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Найдите объём парного отделения. Ответ дайте в кубических метрах.

Ответ: ____________

2 На сколько рублей дровяная печь, подходящая по объёму парного отделения, дороже электрической?

Ответ: ____________

3 Сколько рублей будет стоить покупка электрической печи вместе с кабелем и доставкой?

Ответ: ____________

4 На дровяную печь, подходящую по объёму, действует скидка 20%. Сколько рублей она стоит со скидкой?

Ответ: ____________

5 Электрическая печь потребляет 8 кВт. Хозяин собирается топить баню 12 часов в месяц, а 1 кВт·ч электроэнергии стоит 6 рублей. Сколько рублей в месяц он будет платить за электроэнергию для печи?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 1725 + 45.

Ответ: ____________

7 Какое из данных чисел принадлежит промежутку [9; 10]?

1. √75
2. √98
3. √108
4. √122

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения √28 · √63.

Ответ: ____________

9 Решите уравнение x² − 5x − 14 = 0. Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.

Ответ: ____________

10 На рисунке — диаграмма Эйлера для случайных событий A и B. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события A̅.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций вида y = kx + b и формулами, которые их задают.

1. y = −3x + 3
2. y = −3x − 3
3. y = 3x + 3

Ответ: ____________

12 Мощность постоянного тока в ваттах вычисляют по формуле P = I²R, где I — сила тока в амперах, R — сопротивление в омах. Найдите R, если P = 216 и I = 6.

Ответ: ____________

13 Укажите решение системы неравенств: x − 4 ≤ 0 и 3x − 21 ≤ 0.

1. нет решений
2. [7; +∞)
3. [4; 7]
4. (−∞; 4]

Ответ: ____________

14 В амфитеатре 19 рядов, и в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В 4-м ряду 26 мест, а в 8-м — 42. Сколько мест в последнем ряду?

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол C равен 139°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 К окружности с центром O проведена касательная AB, B — точка касания. Радиус окружности равен 24, OA = 30. Найдите AB.

Ответ: ____________

17 Основания трапеции равны 17 и 11. Найдите её среднюю линию.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. Тангенс любого острого угла меньше единицы.
2. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то он является ромбом.
3. Около любого параллелограмма можно описать окружность.

Ответ: ____________

20 Решите уравнение x⁴ = (−5x + 14)².

21 Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ из 56 деталей на 3 ч быстрее, чем второй рабочий — такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

22 Постройте график функции, заданной так: y = 1,5x + 0,5 при x < 3; y = −4x + 17 при 3 ≤ x ≤ 4; y = 0,5x − 1 при x > 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 49, BC = 14, CF : DF = 2 : 5.

24 Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади параллелограмма.

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC равна 30, диагональ BD равна 26, а средняя линия равна 14. Найдите площадь трапеции.

20 Решите уравнение x⁴ = (−5x + 14)².

1. Перенеси всё влево и разложи как разность квадратов: (x²)² − (−5x + 14)² = 0
2. (x² − (−5x + 14))(x² + (−5x + 14)) = 0
3. Первая скобка: x² + 5x − 14 = 0, корни −7 и 2
4. Вторая скобка: x² − 5x + 14 = 0, дискриминант 25 − 56 = −31 — отрицательный, корней нет
5. Корни уравнения: −7 и 2. Больший: 2

21 Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ из 56 деталей на 3 ч быстрее, чем второй рабочий — такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

1. Пусть первый делает x деталей в час, тогда второй — (x − 6)
2. Второй работает на 3 ч дольше: 56x − 6 − 56x = 3
3. Умножь на x(x − 6): 336 = 3x(x − 6), то есть 3x² − 18x − 336 = 0
4. Раздели на 3: x² − 6x − 112 = 0. Дискриминант: 36 + 448 = 484 = 22². Корни: x = 6 − 222 = −8 и x = 6 + 222 = 14
5. Число деталей в час не бывает отрицательным, подходит только x = 14. Проверка: 56 : 8 − 56 : 14 = 7 − 4 = 3

22 Постройте график функции, заданной так: y = 1,5x + 0,5 при x < 3; y = −4x + 17 при 3 ≤ x ≤ 4; y = 0,5x − 1 при x > 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. График состоит из трёх звеньев. Найди значения в точках стыка: при x = 3 первая и вторая формулы дают 5, при x = 4 вторая и третья дают 1. График не рвётся
2. Первое звено поднимается до точки (3; 5), второе опускается до (4; 1), третье снова поднимается
3. Прямая y = m ниже 1 или выше 5 пересекает график один раз, между ними — три раза, а на уровне излома — два
4. Две общие точки при m = 1 и m = 5. Ответ: m = 1; m = 5

23 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 49, BC = 14, CF : DF = 2 : 5.

1. Проведи через вершину C прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает основание AD в точке K, а отрезок EF — в точке L
2. В четырёхугольниках ABCK и EBCL противоположные стороны попарно параллельны: это параллелограммы. Поэтому AK = BC = 14 и EL = BC = 14, а KD = AD − AK = 49 − 14 = 35
3. Треугольники CLF и CKD подобны по двум углам: угол C у них общий, а углы CLF и CKD соответственные при параллельных прямых EF и AD и секущей CK. Значит, LF : KD = CF : CD = 2 : 7
4. LF = 35 · 27 = 10
5. EF = EL + LF = 14 + 10 = 24

24 Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади параллелограмма.

1. Проведи через точку K прямую, перпендикулярную сторонам BC и AD. Пусть расстояние от K до BC равно h1, до AD — h2. Точка K лежит внутри параллелограмма, то есть между параллельными прямыми BC и AD, поэтому два этих расстояния вместе дают расстояние между прямыми: h1 + h2 = h — высота параллелограмма, проведённая к стороне BC
2. Площадь треугольника BKC равна 12 · BC · h1, площадь треугольника AKD равна 12 · AD · h2
3. BC = AD как противоположные стороны параллелограмма. Сумма площадей: 12 · BC · (h1 + h2) = 12 · BC · h
4. Площадь параллелограмма равна BC · h. Значит, сумма площадей двух треугольников равна её половине

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC равна 30, диагональ BD равна 26, а средняя линия равна 14. Найдите площадь трапеции.

1. Проведи через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке E. В четырёхугольнике BCED противоположные стороны попарно параллельны — это параллелограмм: DE = BC и CE = BD = 26
2. AE = AD + DE = AD + BC. Сумма оснований вдвое больше средней линии: AE = 2 · 14 = 28. В треугольнике ACE известны все стороны: 30, 26 и 28
3. Площадь треугольника ACE равна площади трапеции. Высота треугольника из вершины C — это высота трапеции h, поэтому его площадь 12 · AE · h = 12 · (AD + BC) · h — та же формула, что у трапеции
4. Найди площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр: (30 + 26 + 28) : 2 = 42. Под корнем: 42 · 12 · 16 · 14 = 112896
5. S = √112896 = 336