Вариант 8 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Сколько месяцев из шести абонент израсходовал больше минут, чем входит в пакет?

Ответ: ____________

2 Сколько рублей абонент заплатил за связь в январе?

Ответ: ____________

3 В скольких месяцах абонент не вышел за пределы пакета ни по минутам, ни по гигабайтам?

Ответ: ____________

4 Сколько рублей за полгода абонент заплатил сверх абонентской платы?

Ответ: ____________

5 Абоненту предлагают другой тариф: абонентская плата 500 рублей, в пакете 400 минут и 14 гигабайт, цены сверх пакета те же. Сколько рублей он заплатил бы по этому тарифу за те же полгода?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 310 − 14.

Ответ: ____________

7 Между какими целыми числами заключено число √38?

1. 4 и 5
2. 5 и 6
3. 6 и 7
4. 7 и 8

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения 2⁴ · 2⁶2⁶.

Ответ: ____________

9 Найдите корень уравнения 3(x − 3) − x = 3.

Ответ: ____________

10 В сборнике 20 задач, из них на проценты — 13. Найдите вероятность того, что случайно выбранная задача окажется на проценты.

Ответ: ____________

11 Установите соответствие между графиками функций вида y = kx + b и формулами, которые их задают.

1. y = x + 3
2. y = −x + 3
3. y = x − 3

Ответ: ____________

12 Центростремительное ускорение (в м/с²) при движении по окружности находят по формуле a = ω²R, где ω — угловая скорость (в с⁻¹), R — радиус окружности в метрах. Найдите радиус R, если ω = 4 с⁻¹, а a = 136 м/с². Ответ дайте в метрах.

Ответ: ____________

13 Укажите решение неравенства (x + 2)(x − 6) ≥ 0.

1. [−2; 6]
2. [6; +∞)
3. (−∞; −2] ∪ [6; +∞)
4. (−∞; −2]

Ответ: ____________

14 В арифметической прогрессии (an) первый член a1 = −4, разность d = 4. Найдите a11.

Ответ: ____________

15 Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: ____________

16 На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что угол NBA равен 30°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

17 Один из углов ромба равен 32°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. Диагонали ромба перпендикулярны.
2. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3. Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.

Ответ: ____________

20 Решите уравнение x³ + 3x² = 25x + 75.

21 Расстояние между пристанями А и В равно 96 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

22 Постройте график функции y = |x| · (x − 1) − 4x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 11.

24 Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

25 Окружности радиусов 6 и 18 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

20 Решите уравнение x³ + 3x² = 25x + 75.

1. Перенеси всё влево: x³ + 3x² − 25x − 75 = 0
2. Сгруппируй попарно: x²(x + 3) − 25(x + 3) = 0
3. Вынеси общий множитель: (x + 3)(x² − 25) = 0, то есть (x + 3)(x − 5)(x + 5) = 0
4. Корни: −5; −3; 5. Наименьший из них: −5

21 Расстояние между пристанями А и В равно 96 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

1. Плот плывёт со скоростью течения: 30 км он проплыл за 30 : 2 = 15 ч
2. Лодка вышла на час позже, значит, была в пути 15 − 1 = 14 ч
3. Пусть её скорость x км/ч: 96x + 2 + 96x − 2 = 14
4. Умножь на (x + 2)(x − 2): 192x = 14(x² − 4), то есть 14x² − 192x − 56 = 0
5. Раздели на 2: 7x² − 96x − 28 = 0. Дискриминант: 9216 + 784 = 10000 = 100². Корни: x = 96 − 10014 = −27 и x = 96 + 10014 = 14
6. Второй корень отрицательный, а скорость не бывает отрицательной: x = 14

22 Постройте график функции y = |x| · (x − 1) − 4x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскрой модуль. При x ≥ 0 модуль равен x: y = x² − 5x. При x < 0 модуль равен −x: y = −x² − 3x
2. Справа от нуля — парабола ветвями вверх с вершиной (2,5; −6,25). Слева — парабола ветвями вниз с вершиной (−1,5; 2,25). В точке x = 0 обе дают 0: график не рвётся
3. Прямая y = m горизонтальна. Между вершинами она пересекает график трижды, выше верхней и ниже нижней — один раз, а ровно через вершину — дважды
4. Две общие точки при m = −6,25 и m = 2,25. Ответ: m = −6,25; m = 2,25

23 Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 11.

1. Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AK
2. AK — биссектриса, поэтому углы KAD и BAK равны. Значит, в треугольнике ABK углы при стороне AK равны: он равнобедренный
3. AB = BK = 6. BC = BK + CK = 6 + 11 = 17
4. Периметр: 2 · (6 + 17) = 46

24 Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

1. Углы CBD и BDA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD
2. Сравни стороны, образующие эти углы: в треугольнике CBD это BC и BD, в треугольнике BDA — BD и AD. BCBD = 28 = 14 и BDAD = 832 = 14
3. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны. По второму признаку подобия треугольники CBD и BDA подобны

25 Окружности радиусов 6 и 18 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

1. Пусть O1 и O2 — центры, O1O2 = 6 + 18 = 24. Радиусы O1A и O2C перпендикулярны касательной AC, поэтому они параллельны
2. Проведи через O1 прямую, параллельную AC, до пересечения с O2C в точке H. В прямоугольном треугольнике O1HO2 катет O2H равен 18 − 6 = 12, гипотенуза — 24. Косинус угла между радиусами и линией центров равен 1224
3. Касательные AC и BD пересекаются в точке P на линии центров: центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. PA = PB как отрезки касательных, O1A = O1B как радиусы, поэтому прямая PO1 — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Так же она перпендикулярна CD: прямые AB и CD перпендикулярны линии центров
4. Точка A смещена от O1 вдоль линии центров на 6 · 1224 в сторону от O2, точка C от O2 — на 18 · 1224 в ту же сторону
5. Расстояние между прямыми: 24 + 6 · 1224 − 18 · 1224 = 24 − 14424 = 43224 = 18