Вариант 3 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на карте обозначены населённые пункты: Привольное, Рябиновка, Липки. В ответ запишите три цифры подряд в этом порядке, без пробелов и запятых.

Ответ: ____________

2 Найдите расстояние от деревни Липки до села Привольное по шоссе. Ответ дайте в километрах.

Ответ: ____________

3 Найдите расстояние от деревни Липки до села Привольное по прямой. Ответ дайте в километрах.

Ответ: ____________

4 Сколько минут Миша затратит на дорогу из деревни Липки в деревню Васильки, если поедет по шоссе?

Ответ: ____________

5 Миша хочет добраться из деревни Липки в село Привольное как можно быстрее. Сколько минут займёт самый быстрый из двух путей?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения 61,5.

Ответ: ____________

7 На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих неравенств верно?

1. b − a < 0
2. a + b < 0
3. ab² < 0
4. a − b < 0

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения √39 · √12√13.

Ответ: ____________

9 Найдите корень уравнения 8(x − 9) = 24.

Ответ: ____________

10 В случайном опыте 40 равновозможных элементарных событий, из которых 3 благоприятствуют событию A. Вычислите вероятность события A̅.

Ответ: ____________

11 На рисунках изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.

1. a > 0, c > 0
2. a < 0, c > 0
3. a < 0, c < 0

Ответ: ____________

12 Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 59(tF − 32), где tF — температура в градусах Фаренгейта. Найдите tC при tF = 203.

Ответ: ____________

13 Укажите решение системы неравенств: 2x − 2 ≤ 0 и 3x − 9 ≤ 0.

Ответ: ____________

14 Резиновый мячик с силой ударили о пол. После первого отскока он поднялся на 3,6 м, а при каждом следующем отскоке поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую поднимется мячик, впервые станет меньше 115 см?

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 24, AC = 10. Найдите AB.

Ответ: ____________

16 В окружности с центром O и радиусом 26 проведена хорда AB. Расстояние от центра окружности до хорды равно 24. Найдите длину хорды AB.

Ответ: ____________

17 Основания трапеции равны 10 и 8, а высота равна 10. Найдите площадь трапеции.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы.

Ответ: ____________

19 Какие из следующих утверждений верны? Отметьте все верные.

1. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.
3. Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой.

Ответ: ____________

20 Решите неравенство x² − 13x + 42x − 6 ≤ 0.

21 Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

22 Постройте график функции y = (x² − 6x + 4)(x − 1)x − 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

23 Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

24 Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

25 В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Найдите AH, если BC = 78, B1C1 = 30.

20 Решите неравенство x² − 13x + 42x − 6 ≤ 0.

1. Знаменатель не равен нулю: x ≠ 6
2. Разложи числитель: x² − 13x + 42 = (x − 6)(x − 7)
3. При x ≠ 6 дробь сокращается: x − 7 ≤ 0, то есть x ≤ 7
4. Убери из этого луча точку 6: (−∞; 6) ∪ (6; 7]. Ответ: (−∞; 6) ∪ (6; 7]

21 Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

1. Пусть скорость первого x км/ч, тогда второго — (x − 20) км/ч
2. Второй был в пути на 2 ч дольше: 480x − 20 − 480x = 2
3. Умножь на x(x − 20): 480x − 480(x − 20) = 2x(x − 20), то есть 2x² − 40x − 9600 = 0
4. Раздели на 2: x² − 20x − 4800 = 0. Дискриминант: 400 + 19200 = 19600 = 140². Корни: x = 20 − 1402 = −60 и x = 20 + 1402 = 80
5. Скорость не бывает отрицательной, подходит только x = 80. Проверка: 480 : 60 − 480 : 80 = 8 − 6 = 2

22 Постройте график функции y = (x² − 6x + 4)(x − 1)x − 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Знаменатель не равен нулю: x ≠ 1. При таких x дробь сокращается на скобку: y = x² − 6x + 4
2. График — парабола ветвями вверх с вершиной (3; −5), но без точки с абсциссой 1. Подставь x = 1 в y = x² − 6x + 4: выколота точка (1; −1)
3. Прямая y = m ниже вершины с параболой не встречается, через вершину — имеет одну общую точку, выше — две, симметричные относительно оси параболы x = 3
4. Но на высоте −1 одна из этих двух точек выколота, и общая точка остаётся одна
5. Одна общая точка при m = −5 и m = −1. Ответ: m = −5; m = −1

23 Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

1. Сторона ромба: CD = DH + CH = 24 + 2 = 26. Все стороны ромба равны, поэтому AD = 26
2. AH — высота, значит, треугольник ADH прямоугольный с гипотенузой AD
3. По теореме Пифагора: AH² = 26² − 24² = 676 − 576 = 100
4. AH = 10

24 Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

1. Рассмотри треугольники BOP и DOQ. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: BO = DO
2. Углы BOP и DOQ равны как вертикальные
3. Углы OBP и ODQ равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD
4. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, равны и соответствующие стороны: BP = DQ

25 В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Найдите AH, если BC = 78, B1C1 = 30.

1. В прямоугольном треугольнике ABB1 катет AB1 прилежит к углу A: AB1 = AB · cos A. Так же в треугольнике ACC1: AC1 = AC · cos A
2. У треугольников AB1C1 и ABC угол A общий, а стороны, которые его образуют, пропорциональны: AB1 : AB = AC1 : AC = cos A. Треугольники подобны по второму признаку с коэффициентом cos A
3. Значит, B1C1 = BC · cos A, откуда cos A = 3078 = 513. Угол A острый, его синус положителен: sin² A = 1 − cos² A, sin A = 1213
4. Углы AB1H и AC1H прямые, поэтому точки B1 и C1 лежат на окружности с диаметром AH. Эта окружность описана около треугольника AB1C1
5. По теореме синусов для треугольника AB1C1 сторона B1C1, делённая на синус противолежащего угла A, равна диаметру: AH = 30 : 1213 = 32,5