Вариант 10 ОГЭ по математике 2027: распечатай и реши

1 Найдите объём парного отделения. Ответ дайте в кубических метрах.

Ответ: ____________

2 На сколько рублей дровяная печь, подходящая по объёму парного отделения, дороже электрической?

Ответ: ____________

3 Сколько рублей будет стоить покупка электрической печи вместе с кабелем и доставкой?

Ответ: ____________

4 На дровяную печь, подходящую по объёму, действует скидка 5%. Сколько рублей она стоит со скидкой?

Ответ: ____________

5 Электрическая печь потребляет 8 кВт. Хозяин собирается топить баню 16 часов в месяц, а 1 кВт·ч электроэнергии стоит 4 рубля. Сколько рублей в месяц он будет платить за электроэнергию для печи?

Ответ: ____________

6 Найдите значение выражения (78 − 14) · 24.

Ответ: ____________

7 Одно из данных чисел отмечено на координатной прямой точкой A. Какое это число?

1. 479
2. 619
3. 689
4. 799

Ответ: ____________

8 Найдите значение выражения √(125 · x²y²) при x = 4 и y = 5.

Ответ: ____________

9 Найдите корень уравнения 4(x + 5) = −12.

Ответ: ____________

10 На рисунке изображено дерево случайного опыта: на рёбрах записаны вероятности. Найдите вероятность события B.

Ответ: ____________

11 На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов k и b.

1. k < 0, b < 0
2. k > 0, b > 0
3. k > 0, b < 0

Ответ: ____________

12 Температуру в градусах Фаренгейта находят по формуле tF = 1,8 · tC + 32, где tC — температура в градусах Цельсия. Найдите tF при tC = −5.

Ответ: ____________

13 Укажите решение системы неравенств: −3x − 12 ≤ 0 и 3x − 3 ≤ 0.

Ответ: ____________

14 В ходе опыта вещество равномерно охлаждали: каждую минуту его температура опускалась на 8 °C. В начале опыта температура вещества была 0 °C. Найдите температуру вещества через 4 минуты после начала опыта. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: ____________

15 В треугольнике ABC угол BAC равен 60°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

16 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30, BC = 72. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: ____________

17 Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 20°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ____________

18 На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Ответ: ____________

19 Какое из следующих утверждений верно?

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Любой ромб является квадратом.
3. Диагонали ромба равны.

Ответ: ____________

20 Решите уравнение x⁴ = (−x + 6)².

21 Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 34% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

22 Постройте график функции, заданной так: y = 2,5x + 4,5 при x < −1; y = −2x при −1 ≤ x ≤ 1; y = 1,5x − 3,5 при x > 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

23 Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 64, AC = 100.

24 Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P, а биссектрисы углов C и D — в точке Q. Найдите PQ, если AB = 15, CD = 23, а средняя линия трапеции равна 31.

20 Решите уравнение x⁴ = (−x + 6)².

1. Перенеси всё влево и разложи как разность квадратов: (x²)² − (−x + 6)² = 0
2. (x² − (−x + 6))(x² + (−x + 6)) = 0
3. Первая скобка: x² + x − 6 = 0, корни −3 и 2
4. Вторая скобка: x² − x + 6 = 0, дискриминант 1 − 24 = −23 — отрицательный, корней нет
5. Корни уравнения: −3 и 2. Больший: 2

21 Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 34% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

1. Пусть концентрации растворов x% и y%. Слили всё: 24x + 8y = 22 · 32 = 704
2. Слили поровну — концентрация равна среднему: x + y = 2 · 34 = 68
3. Подставь y = 68 − x в первое уравнение: 24x + 8 · (68 − x) = 704, откуда 16x = 160 и x = 10
4. Кислоты в первом растворе: 24 · 0,1 = 2,4

22 Постройте график функции, заданной так: y = 2,5x + 4,5 при x < −1; y = −2x при −1 ≤ x ≤ 1; y = 1,5x − 3,5 при x > 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1. График состоит из трёх звеньев. Найди значения в точках стыка: при x = −1 первая и вторая формулы дают 2, при x = 1 вторая и третья дают −2. График не рвётся
2. Первое звено поднимается до точки (−1; 2), второе опускается до (1; −2), третье снова поднимается
3. Прямая y = m ниже −2 или выше 2 пересекает график один раз, между ними — три раза, а на уровне излома — два
4. Две общие точки при m = −2 и m = 2. Ответ: m = −2; m = 2

23 Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 64, AC = 100.

1. Треугольники ABH и ACB подобны: оба прямоугольные, угол A у них общий
2. Из подобия: ABAC = AHAB, то есть AB² = AH · AC
3. AB² = 64 · 100 = 6400
4. AB = 80

24 Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

1. Проведи через точку F прямую, перпендикулярную сторонам BC и AD. Пусть расстояние от F до BC равно h1, до AD — h2. Точка F лежит внутри параллелограмма, то есть между параллельными прямыми BC и AD, поэтому два этих расстояния вместе дают расстояние между прямыми: h1 + h2 = h — высота параллелограмма, проведённая к стороне BC
2. Площадь треугольника BFC равна 12 · BC · h1, площадь треугольника AFD равна 12 · AD · h2
3. BC = AD как противоположные стороны параллелограмма. Сумма площадей: 12 · BC · (h1 + h2) = 12 · BC · h
4. Площадь параллелограмма равна BC · h. Значит, сумма площадей двух треугольников равна её половине

25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P, а биссектрисы углов C и D — в точке Q. Найдите PQ, если AB = 15, CD = 23, а средняя линия трапеции равна 31.

1. Углы A и B трапеции — односторонние при параллельных основаниях и секущей AB, их сумма 180°. Биссектрисы делят их пополам: углы PAB и PBA вместе дают 90°. Значит, угол APB прямой. Так же прямой и угол CQD
2. Пусть M — середина AB. В прямоугольном треугольнике APB медиана PM, проведённая к гипотенузе, равна её половине: PM = AM = AB2 = 7,5
3. Треугольник AMP равнобедренный, поэтому угол MPA равен углу MAP. А угол MAP равен углу PAD: AP — биссектриса. Углы MPA и PAD накрест лежащие при прямых MP и AD и секущей AP; они равны, значит, MP параллельна AD. Через середину боковой стороны параллельно основаниям идёт средняя линия — точка P лежит на ней
4. Так же для второй боковой стороны: если N — середина CD, то точка Q лежит на средней линии и QN = CD2 = 11,5
5. На средней линии MN = 31 точки идут в порядке M, P, Q, N, потому что 7,5 + 11,5 меньше 31. PQ = MN − PM − QN = 31 − 7,5 − 11,5 = 12