Площадь треугольника

Формул площади треугольника несколько, и выбор зависит от того, что дано: сторона и высота, две стороны и угол, катеты, периметр и радиус вписанной окружности. В ОГЭ площадь встречается в заданиях 15, 16, 18 и во второй части.

На странице

Теория
Решённые примеры: 6
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Основная формула

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне: S = 12a · ha. Высоту можно проводить к любой стороне — результат будет один и тот же.

Другие формулы

Через две стороны и угол между ними: S = 12ab · sin γ.
Прямоугольный треугольник: S = 12ab, где a и b — катеты.
Равносторонний треугольник со стороной a: S = a²√34.
Через периметр P и радиус r вписанной окружности: S = 12P · r.

Где высота

В остроугольном треугольнике все высоты внутри.
В прямоугольном треугольнике высота к катету — второй катет.
В тупоугольном треугольнике высоты из острых углов падают на продолжения сторон, вне треугольника.
На клетчатой бумаге выбирают сторону, идущую по линии клеток: высота к ней тоже идёт по клеткам.

Следствия, которые часто нужны

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади: основания равны, высота общая.
Площадь можно записать двумя способами и приравнять — так находят высоту: ha = 2Sa.
Если на клетчатой бумаге ни одна сторона не идёт по клеткам, треугольник обводят прямоугольником и вычитают лишние прямоугольные треугольники.

Решённые примеры

1. Сторона и высота к ней

Задание 15. Основная формула: половина произведения.

В треугольнике ABC сторона AC равна 12, а высота BH, проведённая к ней, равна 3. Найдите площадь треугольника.

Решение

Площадь треугольника: S = 12 · сторона · высота к ней
S = 12 · 12 · 3
S = 18

Ответ: 18

Можно иначе. Прямоугольник со сторонами 12 и 3 имеет площадь 36. Треугольник с таким основанием и высотой занимает половину: 18.

Если получилось не 18

36 — Сторона умножена на высоту, а в формуле площади треугольника есть ещё множитель 12.

Решать задачи на площадь треугольникаНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Прямоугольный треугольник

Задание 15. Катеты перпендикулярны: один — основание, другой — высота.

Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 3. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Катеты перпендикулярны: один можно принять за основание, второй — за высоту
S = 12 · 16 · 3 = 24

Ответ: 24

Можно иначе. Дострой треугольник до прямоугольника со сторонами 16 и 3: его площадь 48. Диагональ делит прямоугольник на два таких треугольника, поэтому площадь одного — 24.

Если получилось не 24

48 — Это площадь прямоугольника с такими сторонами. Треугольник — его половина.
19 — Площадь — половина произведения катетов, а не их сумма.

3. Две стороны и синус угла

Задание 15. Нужен угол именно между данными сторонами.

В треугольнике ABC сторона AB равна 4, сторона BC равна 15, sin ∠ABC = 710. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника — половина произведения двух сторон на синус угла между ними: S = 12 · AB · BC · sin B
S = 12 · 4 · 15 · 710
4 · 15 = 60; 60 · 710 = 42; половина — 21

Ответ: 21

Можно иначе. Откуда формула: высота из вершины A на сторону BC равна AB · sin B = 4 · 710 = 145. Дальше обычная площадь: половина стороны BC на высоту — 12 · 15 · 145 = 21.

Если получилось не 21

42 — В формуле площади есть множитель 12.
30 — Потерялся синус: без него формула верна только для прямого угла.
60 — Произведение сторон нужно умножить на синус угла и разделить на 2.

4. Треугольник на клетчатой бумаге

Задание 18. Сторону и высоту считают по клеткам.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Нижняя сторона идёт по линии клеток: основание — 6, высота к нему — 2
Площадь треугольника: S = 12 · основание · высота
S = 12 · 6 · 2 = 6

Ответ: 6

Можно иначе. Обведи треугольник прямоугольником 6×2. Его площадь 12, а треугольник занимает ровно половину: 6.

Если получилось не 6

12 — Основание умножено на высоту, а в формуле площади треугольника есть ещё множитель 12.

5. Периметр и радиус вписанной окружности

Задание 16. Одна из сторон в условии лишняя — нужен только периметр.

Периметр треугольника равен 68, одна из сторон равна 17, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине периметра, умноженной на радиус вписанной окружности: S = 12 · P · r
S = 12 · 68 · 6 = 204

Ответ: 204

Можно иначе. Соедини центр окружности с вершинами: получатся три треугольника, у каждого высота — радиус 6, а основания — стороны. Их площади в сумме: 12 · 6 · (сумма сторон) = 12 · 6 · 68 = 204. Длина одной стороны для этого не нужна.

Если получилось не 204

408 — В формуле стоит половина периметра, а не весь периметр.
51 — Это площадь только одного из трёх треугольников с вершиной в центре окружности. Нужен весь периметр.

6. Высота равностороннего треугольника

Задание 15. Высота a√32 — шаг к площади a²√34.

Сторона равностороннего треугольника равна 4√3. Найдите медиану этого треугольника.

Решение

Высота равностороннего треугольника со стороной a равна a√32. В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают.
Подставь a = 4√3: 4√3 · √32
√3 · √3 = 3, поэтому 4 · 32 = 6

Ответ: 6

Можно иначе. Высота делит треугольник на два прямоугольных: гипотенуза 4√3, один катет — половина стороны, 2√3. По теореме Пифагора квадрат высоты равен (4√3)² − (2√3)² = 48 − 12 = 36. Корень из 36 — это 6.

Если получилось не 6

12 — В формуле a√32 есть деление на 2.
2 — √3 · √3 = 3: корни не сокращаются, а перемножаются.
4 — Высота не равна стороне без корня: подставь сторону в формулу целиком, вместе с √3.

Типичные ошибки

Забывают половину: площадь треугольника — половина произведения стороны на высоту.
Умножают сторону на высоту, проведённую к другой стороне.
В формуле с синусом берут угол, который не лежит между данными сторонами.
В прямоугольном треугольнике перемножают катет и гипотенузу.
Принимают боковую сторону за высоту, когда она к основанию не перпендикулярна.

В каких заданиях встречается

Задание 15 — площадь по стороне и высоте, по двум сторонам и углу.
Задание 16 — площадь через периметр и радиус вписанной окружности.
Задание 18 — площадь треугольника на клетчатой бумаге.
Задание 23 — площадь как шаг: высота через площадь.
Задание 24 — доказательства про равные площади.

Вопросы и ответы

Как найти площадь треугольника?

Умножить сторону на высоту, проведённую к ней, и разделить пополам. Для стороны 10 и высоты 6 площадь равна 30.

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Перемножить катеты и разделить на 2. Для катетов 6 и 8 площадь равна 24.

Как найти площадь треугольника по двум сторонам и углу?

Половина произведения сторон на синус угла между ними. Для сторон 6 и 10 и угла 30°: 12 · 6 · 10 · 12 = 15.

Есть ли формулы площади треугольника в справочных материалах ОГЭ?

Да: через сторону и высоту, через две стороны и синус угла, а также площадь правильного треугольника. Формулы через периметр и радиус вписанной окружности там нет.

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

Обновлено 11.10.2026