Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе

Высота из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка, а сам треугольник — на два треугольника, подобных исходному. Из этого получаются три короткие формулы; в ОГЭ они нужны в задании 23.

На странице

Теория
Решённые примеры: 4
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Обозначения

В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, a и b — катеты, c — гипотенуза, h — высота CH, проведённая к гипотенузе. Отрезки, на которые точка H делит гипотенузу, — проекции катетов: ac лежит рядом с катетом a, bc — рядом с катетом b; вместе ac + bc = c.

Формулы

Через катеты и гипотенузу: h = abc.
Через отрезки гипотенузы: h² = ac · bc, то есть h = √(ac · bc).
Катет через его проекцию: a² = ac · c и b² = bc · c.

Откуда они берутся

Первая — из площади. Площадь прямоугольного треугольника равна 12ab, и она же равна 12ch. Приравняй: ab = ch, откуда h = abc.
Вторая и третья — из подобия. Высота делит треугольник ABC на треугольники ACH и CBH; каждый из них подобен треугольнику ABC, потому что у них есть по прямому углу и по общему с ним острому углу.

Когда формулы применимы

Только в прямоугольном треугольнике и только для высоты, проведённой из вершины прямого угла. Две другие высоты прямоугольного треугольника — это его катеты.

Во второй части экзамена решение записывают полностью, поэтому готовую формулу лучше не подставлять без пояснения, а получить её в решении — через площадь или через подобие, как в примерах ниже.

Решённые примеры

Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа каждый раз новые.

1. Высота по двум катетам

Задание 23. Сначала гипотенуза по теореме Пифагора, потом площадь двумя способами.

Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 32. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи высоту.

Решение

Гипотенуза по теореме Пифагора: √(576 + 1024) = 40
Площадь треугольника через катеты: 12 · 24 · 32 = 384
Та же площадь через гипотенузу и высоту к ней: 12 · 40 · h = 384
h = 768 : 40 = 19,2

Ответ: 19,2

Можно иначе. Короткая формула для этого случая: высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. 24 · 32 : 40 = 19,2. На экзамене её нужно вывести — через площадь, как в решении.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

384 — Это площадь треугольника. Раздели удвоенную площадь на гипотенузу.
9,6 — Площадь равна половине произведения гипотенузы на высоту: высота — это удвоенная площадь, делённая на гипотенузу.

Решать такие же в тренажёре →

2. Высота по катету и гипотенузе

Задание 23. Второго катета в условии нет — его находят первым действием.

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 36 и 45. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи высоту.

Решение

Второй катет по теореме Пифагора: √(2025 − 1296) = 27
Площадь треугольника через катеты: 12 · 27 · 36 = 486
Та же площадь через гипотенузу и высоту к ней: 12 · 45 · h = 486
h = 972 : 45 = 21,6

Ответ: 21,6

Можно иначе. Короткая формула для этого случая: высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. 27 · 36 : 45 = 21,6. На экзамене её нужно вывести — через площадь, как в решении.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

486 — Это площадь треугольника. Раздели удвоенную площадь на гипотенузу.
10,8 — Площадь равна половине произведения гипотенузы на высоту: высота — это удвоенная площадь, делённая на гипотенузу.

Решать такие же в тренажёре →

3. Катет по его проекции на гипотенузу

Задание 23. Известны гипотенуза и отрезок, который высота отсекает от неё у искомого катета.

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 25, AC = 169.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину AB.

Решение

Треугольники ABH и ACB подобны: оба прямоугольные, угол A у них общий
Из подобия: ABAC = AHAB, то есть AB² = AH · AC
AB² = 25 · 169 = 4225
AB = 65

Ответ: 65

Можно иначе. Через косинус угла A: в треугольнике ABH он равен AHAB, в треугольнике ABC — ABAC. Это один и тот же угол, поэтому AB · AB = AH · AC = 4225, и AB = 65.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

4225 — Это AB². Осталось извлечь корень из 4225.
144 — Это отрезок HC. Катет AB находят из подобия: AB² = AH · AC.

Решать такие же в тренажёре →

4. Площадь через катеты

Задание 15. Это первый шаг вывода формулы высоты: площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов.

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 20. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Катеты перпендикулярны: один можно принять за основание, второй — за высоту
S = 12 · 18 · 20 = 180

Ответ: 180

Можно иначе. Дострой треугольник до прямоугольника со сторонами 18 и 20: его площадь 360. Диагональ делит прямоугольник на два таких треугольника, поэтому площадь одного — 180.

Если получилось другое число

360 — Это площадь прямоугольника с такими сторонами. Треугольник — его половина.
38 — Площадь — половина произведения катетов, а не их сумма.

Решать такие же в тренажёре →

Типичные ошибки

В формуле h = abc делят на катет, а не на гипотенузу.
Перемножают катет и гипотенузу, когда второй катет не дан. Сначала его находят по теореме Пифагора.
Находят h² = ac · bc и забывают извлечь корень.
Путают отрезки гипотенузы: в формуле a² = ac · c стоит тот отрезок, который прилегает к катету a.
Применяют формулы к высоте непрямоугольного треугольника.

В каких заданиях встречается

Задание 23 — высота к гипотенузе и отрезки, на которые она делит гипотенузу.
Задание 15 — площадь прямоугольного треугольника, теорема Пифагора.
Задание 25 — подобие треугольников как шаг решения.

Решать задачи на высоту к гипотенузе Катет и его проекцияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Вопросы и ответы

Как найти высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, по катетам?

Найти гипотенузу по теореме Пифагора, перемножить катеты и разделить на гипотенузу. Для катетов 6 и 8 гипотенуза равна 10, высота: 6 · 8 : 10 = 4,8.

Чему равна высота, если известны отрезки, на которые она делит гипотенузу?

Корню из их произведения. Если отрезки равны 4 и 9, то квадрат высоты равен 36, а высота — 6.

Есть ли эти формулы в справочных материалах ОГЭ?

Нет. В справочных материалах есть теорема Пифагора и формула площади треугольника через сторону и высоту к ней — из них формула высоты выводится в одно действие.

Соседние темы

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.