Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма — сторона, умноженная на высоту к ней. Сложность, как и с трапецией, в высоте: её находят по клеткам, по теореме Пифагора или через угол.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Формулы

Через сторону и высоту к ней: S = a · ha.
Через две соседние стороны и угол между ними: S = ab · sin α.
Через диагонали и угол между ними: S = 12d1d2 · sin φ.

Откуда формула

Высота отрезает от параллелограмма прямоугольный треугольник. Если перенести его к другой боковой стороне, получится прямоугольник со сторонами a и ha — той же площади.

Вторая формула следует из первой: высота, опущенная на сторону a, равна b · sin α.

Высота по площади

У параллелограмма две высоты — к каждой паре сторон. Площадь одна, поэтому a · ha = b · hb: к короткой стороне высота длиннее, к длинной — короче.

Когда формула применима

Высота — перпендикуляр между параллельными сторонами, а не боковая сторона. Боковая сторона равна высоте, только если параллелограмм — прямоугольник. Формулы S = a · ha и S = ab · sin α есть в справочных материалах.

Решённые примеры

1. Высоты по площади и сторонам

Задание 17. Высота — площадь, делённая на сторону.

Площадь параллелограмма равна 240, а две его стороны равны 15 и 24. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

Решение

Площадь параллелограмма — сторона, умноженная на высоту, проведённую к ней. Отсюда высота = площадь : сторона
К стороне 15: 240 : 15 = 16. К стороне 24: 240 : 24 = 10
Меньшая высота — 10

Ответ: 10

Можно иначе. Обе высоты считать не обязательно. Площадь одна и та же, поэтому чем короче сторона, тем длиннее высота к ней. Меньшая высота проведена к большей стороне: 240 : 24 = 10.

Если получилось не 10

16 — Это большая высота. Прочитай, какую просят в ответе.

Решать задачи на площадь параллелограммаНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Параллелограмм на клетчатой бумаге

Задание 18. Основание идёт по линии клеток, высота — число клеток между сторонами.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Нижняя сторона идёт по линии клеток: основание — 5. Высота — расстояние до верхней стороны: 2
Площадь параллелограмма: S = основание · высота
S = 5 · 2 = 10

Ответ: 10

Можно иначе. Отрежь треугольник слева и приставь его справа — получится прямоугольник 5×2 той же площади: 10.

Если получилось не 10

5 — Пополам делят у треугольника. У параллелограмма площадь — основание на высоту.
14 — Основание — это сторона параллелограмма, 5 клеток, а не вся ширина рисунка.

3. Площадь по чертежу

Задание 17. Высоту находят из прямоугольного треугольника, который она отсекает.

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Основание параллелограмма состоит из двух отрезков: 15 + 5 = 20
Высота отсекает прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 и катетом 15. По теореме Пифагора высота: √(25² − 15²) = √(625 − 225) = √400 = 20
Площадь — основание на высоту: 20 · 20 = 400

Ответ: 400

Можно иначе. Сначала высота: в прямоугольном треугольнике слева гипотенуза 25 и катет 15, это тройка, второй катет 20. Теперь отрежь этот треугольник и приставь его справа: получится прямоугольник с основанием 20 и высотой 20. Его площадь 20 · 20 = 400.

Если получилось не 400

500 — Боковая сторона — не высота. Высоту найди из прямоугольного треугольника слева по теореме Пифагора.
100 — Основание — весь нижний отрезок, из двух частей.
200 — Половину берут у треугольника. Площадь параллелограмма — основание на высоту.

4. Ромб с углом 30°

Задание 17. Ромб — параллелограмм; высота лежит против угла 30°.

Периметр ромба равен 88, а один из углов равен 150°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Все стороны ромба равны: 88 : 4 = 22
Острый угол ромба: 180° − 150° = 30°. Высота лежит против угла 30° и равна половине стороны: 22 : 2 = 11
Площадь — сторона на высоту: 22 · 11 = 242

Ответ: 242

Можно иначе. Площадь ромба — произведение двух сторон на синус угла между ними. Сторона равна 22, а sin 30° = sin 150° = 12: 22 · 22 · 12 = 242.

Если получилось не 242

484 — Это площадь квадрата с такой стороной. У ромба сторону умножают на высоту, а она короче стороны.
968 — В условии периметр. Сторона ромба — 88 : 4 = 22.
3872 — В условии периметр. Сторона ромба — 88 : 4 = 22.

5. Точка внутри параллелограмма

Задание 24. Доказательство опирается на формулу площади через сторону и высоту.

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку M. Докажите, что сумма площадей треугольников BMC и AMD равна половине площади параллелограмма.

Решение

Проведи через точку M прямую, перпендикулярную сторонам BC и AD. Пусть расстояние от M до BC равно h1, до AD — h2. Точка M лежит внутри параллелограмма, то есть между параллельными прямыми BC и AD, поэтому два этих расстояния вместе дают расстояние между прямыми: h1 + h2 = h — высота параллелограмма, проведённая к стороне BC
Площадь треугольника BMC равна 12 · BC · h1, площадь треугольника AMD равна 12 · AD · h2
BC = AD как противоположные стороны параллелограмма. Сумма площадей: 12 · BC · (h1 + h2) = 12 · BC · h
Площадь параллелограмма равна BC · h. Значит, сумма площадей двух треугольников равна её половине

Можно иначе. Можно иначе: проведи через M прямую, параллельную BC. Она разрежет параллелограмм на два параллелограмма. Треугольник BMC — половина верхнего (у них общее основание BC и общая высота), треугольник AMD — половина нижнего. Вместе — половина целого.

Как это оценят на экзамене

2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы.
1 балл — доказательство в целом верное, но содержит неточности.
0 баллов — всё остальное.

Типичные ошибки

Умножают две соседние стороны, как у прямоугольника, и забывают про высоту или синус угла.
Берут высоту, проведённую не к той стороне, которую умножают.
Делят на 2, как в формуле площади треугольника.
На клетчатой бумаге считают наклонную сторону вместо высоты.

В каких заданиях встречается

Задание 17 — площадь и высоты параллелограмма.
Задание 18 — параллелограмм на клетчатой бумаге.
Задание 24 — доказательства про площади частей параллелограмма.

Вопросы и ответы

Как найти площадь параллелограмма?

Умножить сторону на высоту, проведённую к ней. Для стороны 12 и высоты 5 площадь равна 60.

Как найти площадь параллелограмма по двум сторонам и углу?

Перемножить стороны и синус угла между ними. Для сторон 8 и 10 и угла 30°: 8 · 10 · 12 = 40.

Как найти высоту параллелограмма?

Разделить площадь на сторону, к которой проведена высота.

Есть ли формула площади параллелограмма в справочных материалах ОГЭ?

Да: через сторону и высоту и через две стороны и синус угла между ними.

Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге

Обновлено 11.10.2026