Таблица синусов, косинусов и тангенсов

Q: Чему равен синус 30°?

Одной второй: sin 30° = 1/2 = 0,5.

Q: Чему равен косинус 45°?

√2/2 ≈ 0,71 — столько же, сколько синус 45°.

Синусы, косинусы и тангенсы углов 30°, 45° и 60° стоят за половиной задач геометрии ОГЭ: ромб с углом 150°, трапеция с углом 45°, равносторонний треугольник. Таблица есть в справочных материалах, но значения для 30°, 45° и 60° полезно знать без неё.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Таблица значений

α	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sin α	0	12	√22	√32	1	√32	√22	12	0
cos α	1	√32	√22	12	0	−12	−√22	−√32	−1
tg α	0	√33	1	√3	—	−√3	−1	−√33	0

Откуда эти значения

45°: равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 1 и гипотенузой √2. sin 45° = cos 45° = 1√2 = √22, tg 45° = 1.
30° и 60°: половина равностороннего треугольника со стороной 2 — катеты 1 и √3, гипотенуза 2. Против угла 30° лежит катет 1, поэтому sin 30° = 12, а cos 30° = √32.
sin 60° = cos 30° и cos 60° = sin 30°: острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга до 90°.

Тупые углы

Для тупого угла α синус такой же, как у угла 180° − α, а косинус и тангенс меняют знак: sin 150° = sin 30° = 12, cos 150° = −cos 30° = −√32. Поэтому площадь ромба с углом 150° считают через sin 30°.

Как запомнить

Синусы углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° — это √02, √12, √22, √32, √42: под корнем числа от 0 до 4. Косинусы — те же числа в обратном порядке. Тангенс — синус, делённый на косинус.

Решённые примеры

1. Угол 30°: высота ромба

Задание 17. sin 30° = 12: катет против угла 30° равен половине гипотенузы.

Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Острый угол ромба: 180° − 150° = 30°. Высота, проведённая из вершины тупого угла, вместе со стороной образует прямоугольный треугольник с углом 30°
Катет против угла 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза — сторона ромба, катет — высота
Высота: 4 : 2 = 2

Ответ: 2

Можно иначе. Через площадь: S = a² · sin 30° = 4² · 12 = 8. С другой стороны, S = a · h, поэтому h = 8 : 4 = 2.

Если получилось не 2

4 — Высота ромба меньше его стороны: она — катет, а сторона — гипотенуза.
8 — Катет против угла 30° вдвое меньше гипотенузы, а не больше.

Решать задачи на угол 30°Новые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Угол 45°: высота трапеции

Задание 17. tg 45° = 1: катеты прямоугольного треугольника с углом 45° равны.

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 10 и 12.

Решение

Опусти высоту из конца меньшего основания. Она отсекает от большего основания отрезок (12 − 10) : 2 = 1, остаётся 12 − 1 = 11
Диагональ, высота и этот отрезок образуют прямоугольный треугольник с углом 45° — он равнобедренный
Высота равна отрезку: 11

Ответ: 11

Можно иначе. Полезно запомнить: если диагональ равнобедренной трапеции идёт под углом 45° к основанию, высота равна средней линии. Средняя линия: (12 + 10) : 2 = 11.

Если получилось не 11

1 — Это короткий отрезок, который отсекает высота. Диагональ опирается на длинный.
2 — Это разность оснований. Нужен отрезок от вершины до основания высоты, проведённой из противоположного угла.

3. Угол 60°: равносторонний треугольник

Задание 15. Высота равностороннего треугольника — сторона, умноженная на sin 60°.

Биссектриса равностороннего треугольника равна 8√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

Высота равностороннего треугольника со стороной a равна a√32. В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают.
a√32 = 8√3. Раздели обе части на √3: a2 = 8
a = 2 · 8 = 16

Ответ: 16

Можно иначе. Высота делит треугольник на два прямоугольных: гипотенуза a, катеты a2 и 8√3. По теореме Пифагора a² − a²4 = (8√3)², то есть 34a² = 192. Отсюда a² = 256 и a = 16.

Если получилось не 16

8 — Это половина стороны: a2 = 8. Сторона вдвое больше.
24 — На √3 нужно делить, а не умножать: высота равна a√32, и √3 сокращается.
12 — Найдена высота по стороне, а здесь наоборот: высота дана, ищут сторону.

4. Значение выражения с табличными углами

Подставь значения из таблицы и упрости: корни перемножаются.

Найдите значение выражения 2 sin 30° + √3 · cos 30°.

Решение

sin 30° = 12, cos 30° = √32
2 · 12 + √3 · √32 = 1 + 32
1 + 1,5 = 2,5

Ответ: 2,5

Можно иначе. Проверь на калькуляторе в голове: √3 ≈ 1,73, cos 30° ≈ 0,87, их произведение ≈ 1,5. Вместе с единицей — 2,5.

5. Синус и косинус тупого угла

Тупой угол сводят к острому: синус не меняется, косинус меняет знак.

Найдите значение выражения 4 sin 150° · cos 120°.

Решение

sin 150° = sin 30° = 12
cos 120° = −cos 60° = −12
4 · 12 · (−12) = −1

Ответ: −1

Можно иначе. Оба угла дополняют острые до 180°: 150° = 180° − 30°, 120° = 180° − 60°. Знак меняется только у косинуса, поэтому произведение отрицательное: −1.

Типичные ошибки

Путают sin 30° и cos 30°: синус 30° равен 12, косинус — √32.
Считают tg 30° равным √3, а tg 60° — √33. Наоборот: тангенс растёт с углом.
Забывают минус у косинуса тупого угла: cos 120° = −12.
Пишут sin 90° = 0 или cos 0° = 0.

В каких заданиях встречается

Задание 15 — углы 30°, 45°, 60° в треугольнике.
Задание 16 — радиус описанной окружности.
Задание 17 — ромб с углом 30° или 150°, трапеция с углом 45°.
Задание 23 — вычисления с табличными углами.

Вопросы и ответы

Чему равен синус 30°?

Одной второй: sin 30° = 12 = 0,5.

Чему равен косинус 45°?

√22 ≈ 0,71 — столько же, сколько синус 45°.

Чему равен тангенс 60°?

√3 ≈ 1,73.

Есть ли таблица синусов и косинусов в справочных материалах ОГЭ?

Да: там значения синуса, косинуса и тангенса для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° и 360°. Значений для 120°, 135° и 150° в ней нет — их получают из острых углов.

Решать задачи на угол 45°

Обновлено 11.10.2026