Теорема Пифагора в ОГЭ по математике

Q: Есть ли теорема Пифагора в справочных материалах ОГЭ?

Да, формула a^2 + b^2 = c^2 есть в разделе геометрии. Корни удобно извлекать по таблице квадратов, которую выдают там же.

Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника: зная две, находят третью. В ОГЭ она нужна не только в задачах про треугольник — прямоугольный треугольник прячется в прямоугольнике, в окружности с хордой и на клетчатой бумаге.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Формулировка и формула

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². Гипотенуза c — сторона, лежащая против прямого угла; катеты a и b — стороны, которые образуют прямой угол.

Гипотенуза по двум катетам: c = √(a² + b²).
Катет по гипотенузе и другому катету: a = √(c² − b²).
Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

Когда теорема применима

Только в прямоугольном треугольнике. Если прямого угла нет, для сторон нужна теорема косинусов — она есть в справочных материалах.

Верна и обратная теорема: если для сторон треугольника выполняется равенство c² = a² + b², то треугольник прямоугольный, а прямой угол лежит против стороны c.

Где искать прямоугольный треугольник

Диагональ прямоугольника — гипотенуза, две его стороны — катеты.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, делит его на два равных прямоугольных треугольника; основание при этом делится пополам.
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам: сторона ромба — гипотенуза, половины диагоналей — катеты.
В окружности перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам: радиус — гипотенуза, расстояние до хорды и половина хорды — катеты.
На клетчатой бумаге наклонный отрезок — гипотенуза треугольника, катеты которого идут по линиям клеток.

Тройки сторон, которые стоит узнавать

В заданиях первой части стороны обычно целые: 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17, 7–24–25, 20–21–29. Подходят и кратные им: 6–8–10, 9–12–15, 10–24–26. Узнал тройку — третья сторона известна без вычислений, а теорема остаётся для проверки.

Решённые примеры

Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа каждый раз новые.

1. Гипотенуза по двум катетам

Задание 15. Катеты известны — складывай их квадраты и извлекай корень.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 24, AC = 7. Найдите AB.

Решение

AB лежит против прямого угла — это гипотенуза
По теореме Пифагора: AB² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625
AB = √625 = 25

Ответ: 25

Можно иначе. Полезно помнить тройки сторон прямоугольных треугольников: 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17 и кратные им. Катеты 24 и 7 — гипотенуза 25.

Если получилось другое число

31 — Гипотенуза — не сумма катетов. Складывают их квадраты, потом извлекают корень.
625 — Это квадрат гипотенузы. Осталось извлечь корень из 625.

Решать такие же в тренажёре →

2. Катет по гипотенузе и другому катету

Задание 15. Ищут катет, поэтому из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 26, BC = 24. Найдите AC.

Решение

AB — гипотенуза, BC и AC — катеты
По теореме Пифагора: AC² = AB² − BC² = 676 − 576 = 100
AC = √100 = 10

Ответ: 10

Можно иначе. Гипотенуза 26 и катет 24 — это известная тройка сторон: второй катет равен 10. Проверка: 576 + 100 = 676.

Если получилось другое число

2 — Вычитают не стороны, а их квадраты: из квадрата гипотенузы — квадрат катета.
100 — Это квадрат катета. Осталось извлечь корень из 100.

Решать такие же в тренажёре →

3. Гипотенуза на клетчатой бумаге

Задание 18. Длины катетов считают по клеткам, наклонную сторону — по теореме.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы.

Решение

Катеты идут по линиям клеток: 5 и 12
По теореме Пифагора: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
c = √169 = 13

Ответ: 13

Можно иначе. Полезно помнить тройки сторон прямоугольных треугольников: 3–4–5, 6–8–10, 5–12–13. Катеты 5 и 12 — значит, гипотенуза 13.

Если получилось другое число

17 — Гипотенуза — не сумма катетов. Складывают их квадраты, потом извлекают корень.
169 — Это квадрат гипотенузы. Осталось извлечь корень из 169.

Решать такие же в тренажёре →

4. Сторона прямоугольника по диагонали

Задание 17. Диагональ и две стороны прямоугольника — прямоугольный треугольник.

В прямоугольнике одна сторона равна 24, а диагональ равна 25. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника: она гипотенуза, стороны — катеты
Вторая сторона: √(625 − 576) = √49 = 7
Площадь: 24 · 7 = 168

Ответ: 168

Можно иначе. Гипотенуза 25 и катет 24 — известная тройка сторон, второй катет равен 7. Это вторая сторона прямоугольника, площадь — 24 · 7 = 168.

Если получилось другое число

600 — Площадь — произведение сторон, а диагональ стороной не является. Сначала найди вторую сторону.
7 — Это вторая сторона. Осталось умножить стороны друг на друга.

Решать такие же в тренажёре →

5. Хорда и расстояние от центра до неё

Задание 16. Радиус, проведённый в конец хорды, — гипотенуза; расстояние до хорды — катет.

В окружности с центром O и радиусом 25 проведена хорда AB. Расстояние от центра окружности до хорды равно 24. Найдите длину хорды AB.

Решение

Расстояние до хорды — перпендикуляр OH = 24. Он делит хорду пополам: AH = HB
В прямоугольном треугольнике OHA: AH² = 625 − 576 = 49, поэтому AH = 7
AB = 2 · 7 = 14

Ответ: 14

Можно иначе. Проведи радиус OA — это гипотенуза 25 треугольника с катетом 24. Второй катет — половина хорды: 7. Вся хорда вдвое длиннее: 14.

Если получилось другое число

7 — Это половина хорды: перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Умножь на 2.
2 — Половину хорды находят по теореме Пифагора из треугольника OHA.

Решать такие же в тренажёре →

Типичные ошибки

Складывают квадраты, когда ищут катет. Сумма квадратов — для гипотенузы; для катета из квадрата гипотенузы вычитают квадрат другого катета.
Останавливаются на квадрате: 625 — это c², а сама гипотенуза равна 25.
Извлекают корень из каждого слагаемого по отдельности: √(a² + b²) не равно a + b. При катетах 3 и 4 гипотенуза равна 5, а не 7.
Применяют теорему к треугольнику без прямого угла.
Получают катет длиннее гипотенузы и не замечают этого: гипотенуза всегда больше каждого катета.

В каких заданиях встречается

Задание 15 — сторона прямоугольного треугольника.
Задание 16 — хорда и расстояние до неё, треугольник со стороной-диаметром.
Задание 17 — прямоугольник и его диагональ, диагонали ромба.
Задание 18 — длина отрезка на клетчатой бумаге.
Задание 23 — шаг решения в задаче на вычисление.
Задания 1–5 — сюжеты с дорогой: расстояние напрямик.

Решать задачи на теорему Пифагора На клетчатой бумагеБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Вопросы и ответы

Как найти гипотенузу по двум катетам?

Возвести каждый катет в квадрат, сложить и извлечь корень. Для катетов 5 и 12: 25 + 144 = 169, корень из 169 равен 13.

Как найти катет, если известны гипотенуза и другой катет?

Из квадрата гипотенузы вычесть квадрат известного катета и извлечь корень. Для гипотенузы 26 и катета 24: 676 − 576 = 100, катет равен 10.

Есть ли теорема Пифагора в справочных материалах ОГЭ?

Да, формула a² + b² = c² есть в разделе геометрии. Корни удобно извлекать по таблице квадратов, которую выдают там же.

Соседние темы

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.