Средняя линия треугольника и трапеции

Средних линий в школьной геометрии две — у треугольника и у трапеции. Правила у них разные: в треугольнике берут половину одной стороны, в трапеции — полусумму двух оснований.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Средняя линия треугольника

Это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна её половине. Средних линий в треугольнике три — по одной на каждую пару сторон.

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному: все его стороны вдвое короче, а площадь вчетверо меньше.
Если известна средняя линия, параллельная ей сторона вдвое длиннее.

Средняя линия трапеции

Это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Она параллельна основаниям и равна их полусумме: m = a + b2, где a и b — основания.

Сумма оснований вдвое больше средней линии: a + b = 2m.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: S = m · h.
Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка, равных половинам оснований: a2 и b2.

Когда это применимо

Отрезок должен соединять именно середины сторон: в треугольнике — двух любых, в трапеции — боковых. Отрезок, параллельный стороне, но проведённый не через середины, средней линией не является, и эти формулы к нему не подходят. Обе формулы есть в справочных материалах.

Решённые примеры

Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа каждый раз новые.

1. Средняя линия треугольника по стороне

Задание 15. Точки названы серединами сторон — значит, отрезок между ними вдвое короче третьей стороны.

Точки M и N — середины сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AC равна 20. Найдите MN.

Решение

Отрезок, соединяющий середины двух сторон, — средняя линия треугольника
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине
MN = 20 : 2 = 10

Ответ: 10

Можно иначе. Треугольник MBN — уменьшенная вдвое копия треугольника ABC: все его стороны вдвое короче. Поэтому MN вдвое короче AC: 10.

Если получилось другое число

40 — Средняя линия вдвое короче стороны, а не длиннее.

Решать такие же в тренажёре →

2. Основание трапеции по средней линии

Задание 17. Обратная задача: по средней линии находят сумму оснований, потом — неизвестное основание.

Средняя линия трапеции равна 12, а меньшее основание равно 10. Найдите большее основание.

Решение

Средняя линия равна полусумме оснований, значит сумма оснований вдвое больше неё
Сумма оснований: 2 · 12 = 24
Большее основание: 24 − 10 = 14

Ответ: 14

Можно иначе. Средняя линия стоит ровно посередине между основаниями. От меньшего основания до неё 2, столько же от неё до большего: 12 + 2 = 14.

Если получилось другое число

24 — Это сумма двух оснований. Вычти из неё известное основание 10.
2 — Сначала удвой среднюю линию — получишь сумму оснований.

Решать такие же в тренажёре →

3. Средняя линия треугольника на клетчатой бумаге

Задание 18. Длину стороны, параллельной средней линии, считают по клеткам.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Сторона AC идёт по линии клеток, её длина — 8
Средняя линия, параллельная стороне, равна её половине: 8 : 2 = 4

Ответ: 4

Можно иначе. Отметь середины сторон AB и BC и соедини их — это и есть средняя линия. Она идёт по линии клеток параллельно AC, и её длина — 4: вдвое меньше, чем у AC.

Если получилось другое число

8 — Это сторона AC. Средняя линия вдвое короче.
2 — Это высота треугольника. Средняя линия — половина стороны AC.
1 — Половину нужно брать от стороны AC, а не от высоты.

Решать такие же в тренажёре →

4. Средняя линия трапеции на клетчатой бумаге

Задание 18. Основания идут по линиям клеток; нужна их полусумма.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Основания трапеции идут по линиям клеток: 6 и 4
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований
6 + 42 = 5

Ответ: 5

Можно иначе. Средняя линия проходит посередине между основаниями, и её длина — среднее арифметическое их длин: между 4 и 6 посередине стоит 5.

Если получилось другое число

10 — Сумму оснований нужно поделить на 2.
6 — Это большее основание. Средняя линия — полусумма двух оснований.

Решать такие же в тренажёре →

5. Диагональ делит среднюю линию трапеции

Задание 17. Каждая часть средней линии — средняя линия треугольника, отрезанного диагональю.

Основания трапеции равны 13 и 15. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение

Диагональ делит трапецию на два треугольника. Средняя линия трапеции проходит через середины их сторон, поэтому её части — средние линии этих треугольников
Средняя линия треугольника равна половине основания: 15 : 2 = 7,5 и 13 : 2 = 6,5
Больший отрезок — 7,5

Ответ: 7,5

Можно иначе. Проверка: вся средняя линия трапеции равна полусумме оснований, (15 + 13) : 2 = 14. Диагональ делит её на 7,5 и 6,5 — в сумме как раз 14. Нужен больший: 7,5.

Если получилось другое число

14 — Это вся средняя линия. Диагональ делит её на две части — половины оснований.
6,5 — Это меньший отрезок. Прочитай вопрос ещё раз.
15 — Это основание. Отрезок средней линии вдвое короче.

Решать такие же в тренажёре →

Типичные ошибки

В трапеции складывают основания и забывают разделить на 2 — или делят на 2 только одно основание.
В обратной задаче вычитают основание из средней линии. Сначала среднюю линию умножают на 2, потом вычитают известное основание.
Берут половину не той стороны: средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна.
Путают среднюю линию с медианой. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, средняя линия — две середины.
Считают, что средняя линия трапеции соединяет середины оснований. Она соединяет середины боковых сторон.

В каких заданиях встречается

Задание 15 — средняя линия треугольника.
Задание 17 — средняя линия трапеции, её части, отрезанные диагональю.
Задание 18 — средняя линия на клетчатой бумаге.
Задание 19 — утверждения про среднюю линию.
Задание 25 — площадь трапеции по диагоналям и средней линии.

Средняя линия треугольника Средняя линия трапецииБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Вопросы и ответы

Чему равна средняя линия треугольника?

Половине стороны, которой она параллельна. Если сторона равна 20, средняя линия равна 10.

Чему равна средняя линия трапеции?

Полусумме оснований. Для оснований 10 и 8 это (10 + 8) : 2 = 9.

Как найти основание трапеции, если известны средняя линия и другое основание?

Умножить среднюю линию на 2 — получится сумма оснований — и вычесть известное основание. При средней линии 12 и основании 10 второе основание равно 24 − 10 = 14.

Есть ли средняя линия в справочных материалах ОГЭ?

Да: там записано, что средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине, а средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Соседние темы

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.