Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике

В ОГЭ вся тригонометрия первой части — это три отношения сторон прямоугольного треугольника. Достаточно помнить, какая сторона на какую делится, и уметь назвать катет прилежащим или противолежащим.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Определения

Для острого угла α прямоугольного треугольника:

синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе;
косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе;
тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Как не перепутать катеты

Прилежащий катет выходит из вершины угла: он лежит на его стороне. Противолежащий катет лежит напротив угла и через его вершину не проходит. Для второго острого угла того же треугольника катеты меняются ролями.

Что из этого следует

Синус и косинус острого угла больше 0 и меньше 1: катет короче гипотенузы. Тангенс может быть любым положительным числом.
tg α = sin αcos α.
sin² α + cos² α = 1. Для острого угла отсюда cos α = √(1 − sin² α).
Острые углы A и B прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, поэтому sin A = cos B и cos A = sin B.

Как найти сторону

Катет, противолежащий углу α, равен гипотенузе, умноженной на sin α.
Катет, прилежащий к углу α, равен гипотенузе, умноженной на cos α.
Катет, противолежащий углу α, равен прилежащему катету, умноженному на tg α.

Когда это применимо

Через отношения сторон синус, косинус и тангенс определяют только для острых углов прямоугольного треугольника. В треугольнике без прямого угла стороны и углы связывают теоремы синусов и косинусов — они есть в справочных материалах.

Решённые примеры

Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа каждый раз новые.

1. Косинус по катету и гипотенузе

Задание 15. Нужен катет, который выходит из вершины угла.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 16, AB = 20. Найдите cos B.

Решение

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB
cos B = 1620 = 0,8

Ответ: 0,8

Можно иначе. Найди на чертеже угол B. Катет BC выходит из его вершины — он прилежащий. Дели его на гипотенузу: 16 : 20 = 0,8.

Если получилось другое число

0,6 — Ты взял другой катет. Для косинуса нужен прилежащий к углу B.

Решать такие же в тренажёре →

2. Синус по катету и гипотенузе

Задание 15. Нужен катет, который лежит напротив угла.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 7, AB = 25. Найдите sin B.

Решение

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB
sin B = 725 = 0,28

Ответ: 0,28

Можно иначе. Найди на чертеже угол B. Катет AC лежит напротив — он противолежащий. Дели его на гипотенузу: 7 : 25 = 0,28.

Если получилось другое число

0,96 — Ты взял другой катет. Для синуса нужен противолежащий углу B.

Решать такие же в тренажёре →

3. Тангенс по двум катетам

Задание 15. Гипотенуза не нужна: делят катет напротив угла на катет при угле.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 10, AC = 3. Найдите tg B.

Решение

Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему
Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC
tg B = 310 = 0,3

Ответ: 0,3

Можно иначе. Гипотенуза для тангенса не нужна — только два катета. Тот, что напротив угла B, дели на тот, что выходит из его вершины: 3 : 10 = 0,3.

Решать такие же в тренажёре →

4. Катет по косинусу и гипотенузе

Задание 15. Запиши определение косинуса как равенство двух дробей и найди неизвестную сторону.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 35, AB = 30. Найдите BC.

Решение

Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos B = BCAB
Подставь известное: 35 = BC30
BC = 30 · 35 = 18

Ответ: 18

Можно иначе. Дробь 35 говорит: на каждые 5 частей стороны AB приходится 3 части стороны BC. В AB таких частей 30 : 5 = 6, значит, BC = 3 · 6 = 18.

Если получилось другое число

50 — Дробь перевернулась: BC = AB · cos B, то есть умножать нужно на 35.
6 — Это одна часть. В стороне BC таких частей 3.
30 — Это сторона AB из условия. Спрашивают BC.

Решать такие же в тренажёре →

5. Катет по тангенсу и другому катету

Задание 15. То же самое с тангенсом: отношение катетов известно, один из них дан.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 25, BC = 20. Найдите AC.

Решение

Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg B = ACBC
Подставь известное: 25 = AC20
AC = 20 · 25 = 8

Ответ: 8

Можно иначе. Дробь 25 говорит: на каждые 5 частей стороны BC приходится 2 части стороны AC. В BC таких частей 20 : 5 = 4, значит, AC = 2 · 4 = 8.

Если получилось другое число

50 — Дробь перевернулась: AC = BC · tg B, то есть умножать нужно на 25.
4 — Это одна часть. В стороне AC таких частей 2.
20 — Это сторона BC из условия. Спрашивают AC.

Решать такие же в тренажёре →

Типичные ошибки

Путают прилежащий и противолежащий катеты — получают косинус вместо синуса.
Для синуса или косинуса делят на катет, а не на гипотенузу. Проверка: ответ должен быть меньше 1.
В тангенсе переворачивают дробь: противолежащий катет стоит в числителе.
Берут катеты «от другого угла»: для угла A и для угла B прилежащий и противолежащий катеты разные.
Записывают ответ обыкновенной дробью. В бланк нужна десятичная: 725 — это 0,28.

В каких заданиях встречается

Задание 15 — синус, косинус, тангенс и сторона по ним.
Задание 16 — прямоугольник и описанная окружность.
Задание 17 — ромб и трапеция с известным тангенсом или углом 45°.
Задание 23 — шаг решения в задаче на вычисление.

Решать задачи на синус и косинус Задачи на тангенсБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Вопросы и ответы

Что такое синус острого угла прямоугольного треугольника?

Отношение катета, лежащего напротив этого угла, к гипотенузе. Если катет равен 7, а гипотенуза 25, синус равен 7 : 25 = 0,28.

Как найти косинус, если известен синус?

По основному тригонометрическому тождеству: квадрат косинуса равен единице минус квадрат синуса. Для острого угла с синусом 0,6 квадрат косинуса равен 1 − 0,36 = 0,64, косинус равен 0,8.

Есть ли синус, косинус и тангенс в справочных материалах ОГЭ?

Да: там записаны отношения сторон для прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество и таблица значений синуса, косинуса и тангенса для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° и 360°.

Соседние темы

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.