Площадь трапеции

Формула площади трапеции одна, и она есть в справочных материалах. Трудность в другом: высоту в условии часто не дают — её находят по углу, по клеткам или по боковой стороне.

На странице

Теория
Решённые примеры: 4
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Формула

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = a + b2 · h. Основания a и b — две параллельные стороны; высота h — расстояние между ними, то есть длина перпендикуляра, проведённого от одного основания к прямой, содержащей другое.

Через среднюю линию: S = m · h, потому что средняя линия m равна полусумме оснований.
Трапеция равновелика прямоугольнику со сторонами m и h.

Где взять высоту

На клетчатой бумаге основания идут по линиям клеток, а высота — число клеток между ними.
В прямоугольной трапеции высоте равна боковая сторона, перпендикулярная основаниям.
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины меньшего основания, отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований: a − b2, где a — большее основание.
Если угол при большем основании равнобедренной трапеции равен 45°, высота равна этому отрезку: получается равнобедренный прямоугольный треугольник.
Если известны боковая сторона и отрезок, который высота отсекает от основания, высоту находят по теореме Пифагора.

Когда формула применима

Формула верна для любой трапеции — равнобедренной, прямоугольной, произвольной. Важно подставлять именно высоту: боковая сторона равна высоте только тогда, когда она перпендикулярна основаниям.

Решённые примеры

Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа каждый раз новые.

1. Площадь по основаниям и высоте

Задание 17. Всё дано — подстановка в формулу.

Основания трапеции равны 9 и 7, а высота равна 6. Найдите площадь трапеции.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
Полусумма оснований: 9 + 72 = 8
S = 8 · 6 = 48

Ответ: 48

Можно иначе. Трапеция равновелика прямоугольнику, у которого одна сторона — средняя линия 8, а другая — высота 6. Его площадь 48.

Если получилось другое число

96 — В формуле полусумма оснований: не забудь поделить на 2.
54 — Ты взял только одно основание. Нужна полусумма обоих.

Решать такие же в тренажёре →

2. Площадь трапеции на клетчатой бумаге

Задание 18. Основания и высоту считают по клеткам.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Основания идут по линиям клеток: 5 и 3. Высота — расстояние между ними: 4
Площадь трапеции: S = a + b2 · h
S = 5 + 32 · 4 = 16

Ответ: 16

Можно иначе. Средняя линия трапеции равна 5 + 32 = 4. Трапеция равновелика прямоугольнику 4×4: 16.

Если получилось другое число

32 — В формуле полусумма оснований: не забудь поделить на 2.
20 — Ты взял только одно основание. Нужна полусумма обоих.

Решать такие же в тренажёре →

3. Равнобедренная трапеция с углом 45°

Задание 17. Высоты в условии нет: её находят из прямоугольного треугольника с углом 45°.

В равнобедренной трапеции основания равны 11 и 19, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Опусти высоту из конца меньшего основания. Она отсекает от большего основания отрезок (19 − 11) : 2 = 4
Боковая сторона, высота и этот отрезок образуют прямоугольный треугольник с углом 45° — он равнобедренный, высота равна 4
Площадь: 19 + 112 · 4 = 60

Ответ: 60

Можно иначе. Отрежь два треугольника по бокам и сложи из них квадрат со стороной 4: его площадь 16. В середине остался прямоугольник 11 на 4 с площадью 44. Вместе 16 + 44 = 60.

Если получилось другое число

120 — В формуле площади трапеции полусумма оснований: раздели на 2.

Решать такие же в тренажёре →

4. Площадь по диагоналям и средней линии

Задание 25. Трапецию заменяют равновеликим треугольником: его стороны — две диагонали и сумма оснований.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC равна 35, диагональ BD равна 29, а средняя линия равна 24. Найдите площадь трапеции.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи площадь.

Решение

Проведи через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке E. В четырёхугольнике BCED противоположные стороны попарно параллельны — это параллелограмм: DE = BC и CE = BD = 29
AE = AD + DE = AD + BC. Сумма оснований вдвое больше средней линии: AE = 2 · 24 = 48. В треугольнике ACE известны все стороны: 35, 29 и 48
Площадь треугольника ACE равна площади трапеции. Высота треугольника из вершины C — это высота трапеции h, поэтому его площадь 12 · AE · h = 12 · (AD + BC) · h — та же формула, что у трапеции
Найди площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр: (35 + 29 + 48) : 2 = 56. Под корнем: 56 · 21 · 27 · 8 = 254016
S = √254016 = 504

Ответ: 504

Можно иначе. Без формулы Герона: проведи в треугольнике ACE высоту CH и обозначь AH = x. Квадрат высоты выражается из двух прямоугольных треугольников: 35² − x² = 29² − (48 − x)². Отсюда x = 28, CH² = 1225 − 784 = 441, CH = 21. Площадь трапеции — средняя линия на высоту: 24 · 21 = 504.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

507,5 — Половина произведения диагоналей даёт площадь, только когда диагонали перпендикулярны. Здесь это не так: сначала построй треугольник со сторонами, равными диагоналям и сумме оснований.
1008 — Это AE · CH без множителя 12. Площадь трапеции — средняя линия на высоту, а не сумма оснований на высоту.

Решать такие же в тренажёре →

Типичные ошибки

Складывают основания, умножают на высоту и забывают разделить на 2.
Подставляют вместо высоты боковую сторону, которая наклонена к основаниям.
Перемножают основания между собой.
На клетчатой бумаге считают высоту вдоль наклонной стороны, а не по вертикали между основаниями.
В равнобедренной трапеции отрезок, отсечённый высотой, считают равным разности оснований, а не её половине.

В каких заданиях встречается

Задание 17 — площадь трапеции, равнобедренная трапеция.
Задание 18 — площадь трапеции на клетчатой бумаге.
Задание 24 — площади частей трапеции в доказательстве.
Задание 25 — площадь трапеции по диагоналям и средней линии.

Решать задачи на площадь трапеции На клетчатой бумагеБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Вопросы и ответы

По какой формуле находят площадь трапеции?

Полусумму оснований умножают на высоту. Для оснований 9 и 7 и высоты 6: (9 + 7) : 2 = 8, площадь равна 8 · 6 = 48.

Как найти площадь трапеции через среднюю линию?

Умножить среднюю линию на высоту. Средняя линия уже равна полусумме оснований, делить ещё раз на 2 не нужно.

Есть ли формула площади трапеции в справочных материалах ОГЭ?

Да, в разделе геометрии: площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

Соседние темы

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.