Теорема косинусов

Q: Как найти третью сторону треугольника по двум сторонам и углу?

Подставить их в теорему косинусов и извлечь корень. Для сторон 5 и 8 и угла 60° между ними третья сторона равна 7.

Q: Как по сторонам понять, что треугольник тупоугольный?

Сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других: если он больше, угол против неё тупой.

Q: Есть ли теорема косинусов в справочных материалах ОГЭ?

Да, в разделе геометрии: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab · cos C. Значения косинусов углов 30°, 45°, 60° и других — в таблице там же.

Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора на любые треугольники. Она связывает три стороны и один угол: по двум сторонам и углу между ними находят третью сторону, по трём сторонам — любой угол.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Формулировка

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: c² = a² + b² − 2ab · cos C.

Сторона по двум сторонам и углу: c = √(a² + b² − 2ab · cos C).
Косинус угла по трём сторонам: cos C = a² + b² − c²2ab.

Связь с теоремой Пифагора

Если угол C прямой, cos C = 0, и теорема превращается в c² = a² + b². Поэтому теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.

Какой треугольник: острый или тупой

c² < a² + b² — угол C острый (косинус положительный).
c² = a² + b² — угол C прямой.
c² > a² + b² — угол C тупой (косинус отрицательный).
Достаточно проверить угол против наибольшей стороны: остальные углы заведомо острые.

Значения косинуса, которые нужны чаще всего

cos 60° = 12, cos 120° = −12.
cos 45° = √22, cos 135° = −√22.
cos 30° = √32, cos 150° = −√32.
Для тупого угла α: cos α = −cos(180° − α).

Решённые примеры

1. Частный случай: угол 90°

Задание 15. При прямом угле косинус равен нулю, и остаётся теорема Пифагора.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 25, BC = 20. Найдите AC.

Решение

AB — гипотенуза, BC и AC — катеты
По теореме Пифагора: AC² = AB² − BC² = 625 − 400 = 225
AC = √225 = 15

Ответ: 15

Можно иначе. Гипотенуза 25 и катет 20 — это известная тройка сторон: второй катет равен 15. Проверка: 400 + 225 = 625.

Если получилось не 15

5 — Вычитают не стороны, а их квадраты: из квадрата гипотенузы — квадрат катета.
225 — Это квадрат катета, а не сам катет.
45 — Катет короче гипотенузы: стороны здесь не складывают — работают с их квадратами.

Решать задачи на стороны треугольникаНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Третья сторона при угле 60°

Даны две стороны и угол между ними — это ровно то, что нужно теореме.

В треугольнике ABC AB = 5, AC = 8, угол A равен 60°. Найдите BC.

Решение

Угол A лежит между сторонами AB и AC, поэтому BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos A
cos 60° = 12: BC² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 12 = 89 − 40 = 49
BC = √49 = 7

Ответ: 7

Можно иначе. Опусти высоту BH на AC. В треугольнике ABH угол A равен 60°, поэтому AH = 52 и BH = 5√32. Тогда HC = 8 − 52 = 112, и BC² = 754 + 1214 = 49.

3. Третья сторона при тупом угле

Косинус тупого угла отрицательный, и вычитание превращается в сложение.

В треугольнике ABC AB = 3, AC = 5, угол A равен 120°. Найдите BC.

Решение

BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos A
cos 120° = −12: BC² = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · (−12) = 34 + 15 = 49
BC = 7

Ответ: 7

Можно иначе. Проверь здравым смыслом: против тупого угла лежит наибольшая сторона, и она больше, чем дала бы теорема Пифагора: √34 ≈ 5,8 < 7.

4. Косинус угла по трём сторонам

Формулу переписывают так, чтобы косинус оказался слева.

Стороны треугольника равны 4, 5 и 6. Найдите косинус угла, лежащего против стороны 6.

Решение

По теореме косинусов 6² = 4² + 5² − 2 · 4 · 5 · cos C
36 = 41 − 40 · cos C, откуда 40 · cos C = 5
cos C = 540 = 0,125

Ответ: 0,125

Можно иначе. Сразу по формуле: cos C = 4² + 5² − 6²2 · 4 · 5 = 16 + 25 − 3640 = 540 = 0,125. Косинус положительный, угол острый.

5. Тупоугольный ли треугольник

Знак косинуса наибольшего угла показывает, острый он, прямой или тупой.

Стороны треугольника равны 5, 6 и 8. Найдите косинус его наибольшего угла.

Решение

Наибольший угол лежит против наибольшей стороны, 8
cos C = 5² + 6² − 8²2 · 5 · 6 = 25 + 36 − 6460 = −360
cos C = −0,05. Косинус отрицательный — треугольник тупоугольный

Ответ: −0,05

Можно иначе. Без косинуса: 8² = 64 больше, чем 5² + 6² = 61, значит, угол против стороны 8 тупой. Косинус даёт ещё и число: −360 = −0,05.

Типичные ошибки

Теряют знак: при тупом угле cos отрицательный, и −2ab · cos C становится плюсом.
Берут угол, который не лежит между двумя известными сторонами.
Забывают удвоить произведение: в формуле 2ab, а не ab.
Находят c² и не извлекают корень.
Подставляют градусы вместо косинуса: cos 60° = 12, а не 60.

В каких заданиях встречается

Задание 15 — стороны и углы треугольника.
Задание 19 — утверждения о теореме косинусов.
Задание 23 — шаг решения: сторона по двум сторонам и углу.
Задание 25 — вычисления в задачах высокого уровня.

Вопросы и ответы

Как звучит теорема косинусов?

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Как найти третью сторону треугольника по двум сторонам и углу?

Подставить их в теорему косинусов и извлечь корень. Для сторон 5 и 8 и угла 60° между ними третья сторона равна 7.

Как по сторонам понять, что треугольник тупоугольный?

Сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других: если он больше, угол против неё тупой.

Есть ли теорема косинусов в справочных материалах ОГЭ?

Да, в разделе геометрии: c² = a² + b² − 2ab · cos C. Значения косинусов углов 30°, 45°, 60° и других — в таблице там же.

Решать задачи на две стороны и угол

Обновлено 11.10.2026