Теорема синусов

Q: Есть ли теорема синусов в справочных материалах ОГЭ?

Да, вместе с радиусом описанной окружности: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.

Теорема синусов связывает стороны треугольника с противолежащими углами и с радиусом описанной окружности. В ОГЭ она чаще всего нужна именно для радиуса: R = a2 sin A.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Формулировка

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности: asin A = bsin B = csin C = 2R.

Радиус описанной окружности: R = a2 sin A.
Сторона по радиусу и углу: a = 2R · sin A.
Сторона по другой стороне и двум углам: b = a · sin Bsin A.

Частные случаи, которые встречаются в ОГЭ

Прямоугольный треугольник: sin 90° = 1, поэтому гипотенуза равна 2R — она диаметр описанной окружности.
Равносторонний треугольник со стороной a: R = a2 sin 60° = a√3 = a√33.
Сторона против угла 30° равна радиусу описанной окружности: 2R · 12 = R.

Когда какую теорему

Теорема синусов работает, когда известны сторона и противолежащий ей угол (или два угла и сторона). Теорема косинусов — когда известны две стороны и угол между ними или три стороны. Обе есть в справочных материалах.

Решённые примеры

1. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

Задание 16. Противолежащий гипотенузе угол прямой, его синус равен 1.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 40. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Значит, гипотенуза AB — диаметр описанной окружности
Радиус — половина диаметра: 40 : 2 = 20

Ответ: 20

Можно иначе. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы. От неё до любой вершины — половина гипотенузы: 20.

Если получилось не 20

40 — Это диаметр — вся гипотенуза. Радиус вдвое меньше.
80 — Радиус равен половине гипотенузы, а не удвоенной гипотенузе.

Решать задачи на описанную окружностьНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Радиус для равностороннего треугольника

Задание 16. Все углы по 60°: из теоремы синусов получается R = a√3.

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике со стороной a радиус описанной окружности R = a√3, а вписанной — вдвое меньше: r = a2√3
R = 10√3√3 = 10

Ответ: 10

Можно иначе. Высота такого треугольника: 10√3 · √32 = 15. Центр окружности делит высоту в отношении 2 : 1, считая от вершины. Радиус описанной окружности — две трети высоты: 10.

Если получилось не 10

5 — Это радиус вписанной окружности. У описанной он вдвое больше.
30 — На √3 нужно делить, а не умножать.

3. Радиус по стороне и противолежащему углу 30°

Отношение стороны к синусу противолежащего угла — диаметр описанной окружности.

В треугольнике ABC угол A равен 30°, BC = 7. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение

Сторона BC лежит против угла A. По теореме синусов BCsin A = 2R
sin 30° = 12: 2R = 7 : 12 = 14
R = 7

Ответ: 7

Можно иначе. Сторона против угла 30° всегда равна радиусу описанной окружности: 2R · sin 30° = R. Поэтому R = BC = 7.

4. Радиус при угле 45°

Синус 45° содержит корень, и он сокращается с корнем в длине стороны.

В треугольнике ABC угол B равен 45°, AC = 6√2. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение

AC лежит против угла B: ACsin B = 2R
sin 45° = √22: 2R = 6√2 : √22 = 6√2 · 2√2 = 12
R = 6

Ответ: 6

Можно иначе. Хорда AC окружности видна из точки B под углом 45°, значит, центральный угол AOC равен 90°. Треугольник AOC прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой 6√2, его катеты — радиусы — равны 6.

5. Сторона по другой стороне и двум углам

Две стороны и противолежащие им углы — пропорция из теоремы синусов.

В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC = 4√2. Найдите AC.

Решение

BC лежит против угла A, AC — против угла B: ACsin B = BCsin A
AC = BC · sin Bsin A = 4√2 · 12 : √22
AC = 2√2 · 2√2 = 4

Ответ: 4

Можно иначе. Через радиус: 2R = 4√2sin 45° = 8, и AC = 2R · sin 30° = 8 · 12 = 4.

Типичные ошибки

Делят сторону на синус не противолежащего, а прилежащего угла.
Получают 2R и забывают разделить на 2, чтобы найти радиус.
Путают синус и косинус табличных углов: sin 30° = 12, cos 30° = √32.
Применяют теорему синусов, когда известны две стороны и угол между ними. Здесь нужна теорема косинусов.

В каких заданиях встречается

Задание 16 — радиус описанной окружности.
Задание 19 — утверждения о теореме синусов.
Задание 25 — описанная окружность в задаче высокого уровня.

Вопросы и ответы

Как звучит теорема синусов?

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов; отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Как найти радиус описанной окружности по теореме синусов?

Разделить сторону на удвоенный синус противолежащего ей угла. Для стороны 10 против угла 30°: 10 : (2 · 12) = 10.

Чем теорема синусов отличается от теоремы косинусов?

Синусов — для стороны и противолежащего ей угла, косинусов — для двух сторон и угла между ними или для трёх сторон.

Есть ли теорема синусов в справочных материалах ОГЭ?

Да, вместе с радиусом описанной окружности: asin A = bsin B = csin C = 2R.

Решать задачи на равносторонний треугольник

Обновлено 11.10.2026