Свойства трапеции

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны — основания, непараллельные — боковые стороны. Почти все задачи на углы трапеции решаются одним свойством параллельных прямых.

На странице

Теория
Решённые примеры: 6
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Любая трапеция

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°: это односторонние углы при параллельных основаниях.
Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
Биссектрисы углов при одной боковой стороне пересекаются под прямым углом.
Треугольники, которые образуют диагонали и основания, подобны: коэффициент подобия равен отношению оснований.

Равнобедренная трапеция

Боковые стороны равны, углы при каждом основании равны.
Диагонали равны.
Сумма противоположных углов равна 180°; около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Высота из вершины меньшего основания отсекает от большего отрезок, равный полуразности оснований: a − b2. Оставшаяся часть большего основания равна полусумме: a + b2.

Прямоугольная трапеция

У неё одна боковая сторона перпендикулярна основаниям: два угла прямые, и эта сторона равна высоте. Два других угла прилежат ко второй боковой стороне и в сумме дают 180°.

Как решать задачи на углы

Если сумма двух углов трапеции равна 180°, они при одной боковой стороне. Если сумма другая, это два равных угла при одном основании равнобедренной трапеции: каждый равен половине суммы.

Решённые примеры

1. Углы равнобедренной трапеции по их сумме

Задание 17. Сумма не равна 180° — значит, это углы при одном основании.

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 234°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

Два угла при одной боковой стороне в сумме дают 180°, а здесь 234° — значит, это два равных угла при одном основании
Каждый из них: 234° : 2 = 117° — это больший угол
Меньший угол: 180° − 117° = 63°

Ответ: 63

Можно иначе. Сумма всех четырёх углов трапеции 360°. На два других, тоже равных, остаётся 360° − 234° = 126°, то есть по 63°.

Если получилось не 63

117 — Это больший угол трапеции. Меньший дополняет его до 180°.
54 — Сумма больше 180°, значит, это два равных угла при одном основании, а спрашивают один.

Решать задачи на углы трапецииНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Углы прямоугольной трапеции

Задание 17. Два угла прямые, два других дают в сумме 180°.

Один из углов прямоугольной трапеции равен 20°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других прилегают к одной боковой стороне и в сумме дают 180°
Второй угол: 180° − 20° = 160°
Меньший из углов 20° и 160° (прямые углы меньше тупого и больше острого) — 20°

Ответ: 20

Можно иначе. Углы, которые не равны 90°, здесь всегда идут парой: острый и тупой, вместе 180°. Один из пары — 20°, другой — 160°. Меньший — 20°.

Если получилось не 20

160 — Это больший угол. Прочитай вопрос ещё раз.
90 — Прямой угол — не самый маленький: есть ещё острый.
340 — Два соседних угла дополняют друг друга до 180°, а не до 360°.

3. Высота делит основание

Задание 17. Высоты из концов меньшего основания отсекают по краям равные отрезки.

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 10 и 13. Найдите меньшее основание.

Решение

Проведи вторую высоту — из другого конца меньшего основания. Трапеция равнобедренная, поэтому она отсекает с другой стороны такой же отрезок
Большее основание: 10 + 13 = 23. По краям — два отрезка по 10
Между высотами — меньшее основание: 23 − 2 · 10 = 3

Ответ: 3

Можно иначе. Отрезок 13 состоит из меньшего основания и такого же «хвостика» 10, как с другой стороны. Убери хвостик: 13 − 10 = 3.

Если получилось не 3

23 — Это большее основание. Меньшее короче на два отрезка по 10.
13 — В отрезок 13 входит ещё «хвостик» длиной 10 с другой стороны.
10 — Это отрезок, который отсекает высота. Меньшее основание лежит между двумя высотами.

4. Диагональ — биссектриса

Задание 17. Углы при основании равны, биссектриса делит один из них пополам.

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол D равен 66°. Найдите угол ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Трапеция равнобедренная: углы при основании AD равны, угол BAD тоже 66°
Биссектриса делит его пополам: угол CAD равен 66° : 2 = 33°
В треугольнике ACD: 180° − 66° − 33° = 81°

Ответ: 81

Можно иначе. Смотри только на треугольник ACD. Угол D дан — 66°. Угол A в нём — половина такого же угла при основании, 33°. Третий угол: 180° − 99° = 81°.

Если получилось не 81

48 — В треугольнике ACD угол при вершине A — только половина угла BAD: его делит биссектриса.
33 — Это угол CAD. Спрашивают угол ACD — третий угол треугольника ACD.
114 — Это угол BCD трапеции. Угол ACD — его часть.

5. Диагональ и средняя линия

Задание 17. Диагональ делит трапецию на два треугольника, средняя линия — на две их средние линии.

Основания трапеции равны 13 и 15. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение

Диагональ делит трапецию на два треугольника. Средняя линия трапеции проходит через середины их сторон, поэтому её части — средние линии этих треугольников
Средняя линия треугольника равна половине основания: 15 : 2 = 7,5 и 13 : 2 = 6,5
Больший отрезок — 7,5

Ответ: 7,5

Можно иначе. Проверка: вся средняя линия трапеции равна полусумме оснований, (15 + 13) : 2 = 14. Диагональ делит её на 7,5 и 6,5 — в сумме как раз 14. Нужен больший: 7,5.

Если получилось не 7,5

14 — Это вся средняя линия. Диагональ делит её на две части — половины оснований.
6,5 — Это меньший отрезок. Прочитай вопрос ещё раз.
15 — Это основание. Отрезок средней линии вдвое короче.

6. Биссектрисы при боковой стороне

Задание 23. Биссектрисы пересекаются под прямым углом — дальше теорема Пифагора.

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину AB.

Решение

Углы A и B трапеции — односторонние при параллельных основаниях и секущей AB: их сумма 180°
Биссектрисы делят их пополам, поэтому углы FAB и FBA в сумме дают 90°. Значит, угол AFB равен 180° − 90° = 90°
Треугольник AFB прямоугольный, AB — гипотенуза: AB² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625
AB = 25

Ответ: 25

Можно иначе. Запомни факт: биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, пересекаются под прямым углом. Тогда задача сводится к теореме Пифагора: катеты 24 и 7, гипотенуза 25.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось не 25

31 — AB — не сумма отрезков: треугольник AFB прямоугольный, и AB в нём гипотенуза.
625 — Это AB², а не AB.

Типичные ошибки

Складывают до 180° углы при одном основании. До 180° дополняют друг друга углы при одной боковой стороне.
Считают равными углы при основании любой трапеции — это свойство только равнобедренной.
Отрезок, который высота отсекает от большего основания, берут равным разности оснований, а не её половине.
Принимают наклонную боковую сторону за высоту.

В каких заданиях встречается

Задание 17 — углы, высоты и основания трапеции.
Задание 19 — утверждения о свойствах трапеции.
Задание 23 — биссектрисы, отрезок, параллельный основаниям.
Задание 24 — подобие и площади в трапеции.

Вопросы и ответы

Какие свойства у равнобедренной трапеции?

Боковые стороны равны, углы при каждом основании равны, диагонали равны, сумма противоположных углов — 180°.

Чему равна сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне?

180°: основания параллельны, а боковая сторона — секущая, и эти углы односторонние.

Как найти меньший угол равнобедренной трапеции, если известна сумма двух её углов?

Если сумма больше 180°, это два тупых угла: каждый равен половине суммы, а острый угол — 180° минус тупой. При сумме 240° тупой угол 120°, острый 60°.

Есть ли свойства трапеции в справочных материалах ОГЭ?

Нет, там только площадь трапеции и средняя линия. Свойства углов и равнобедренной трапеции нужно помнить.

Решать задачи на высоту трапеции

Обновлено 11.10.2026