Подобные треугольники: признаки и свойства

Подобные треугольники — треугольники одной формы, но разного размера: их углы равны, а стороны пропорциональны. Во второй части ОГЭ подобие — самый частый шаг решения: параллельные прямые почти всегда дают подобные треугольники.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Определение

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны: ABA1B1 = BCB1C1 = ACA1C1 = k. Число k — коэффициент подобия.

Три признака

По двум углам: два угла одного треугольника равны двум углам другого.
По двум сторонам и углу между ними: две стороны пропорциональны, а углы между ними равны.
По трём сторонам: три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

Свойства подобных треугольников

Периметры, высоты, медианы и биссектрисы относятся с тем же коэффициентом k.
Площади относятся как k².

Где искать подобие

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному.
Отрезки на параллельных прямых и их пересекающиеся «перемычки» — диагонали трапеции, «песочные часы» — дают подобные треугольники с вертикальными углами.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на два треугольника, подобных исходному.
Средняя линия отсекает треугольник с коэффициентом 12.

Решённые примеры

1. Прямая, параллельная стороне

Задание 23. Угол общий, углы при параллельных прямых соответственные — подобие по двум углам.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 14, AC = 16, NC = 18.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину BN.

Решение

Треугольники MBN и ABC подобны по двум углам: угол B общий, углы BNM и BCA соответственные при параллельных MN и AC
Обозначь BN = x, тогда BC = x + 18. Из подобия: xx + 18 = 1416
16x = 14x + 252, то есть 2x = 252
x = 126

Ответ: 126

Можно иначе. Разность AC − MN = 2 «набегает» на отрезке NC = 18. На отрезке BN набегает сам MN = 14. Отрезки относятся так же, как эти длины: BN = 18 · 14 : 2 = 126.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось не 126

15,75 — Отношение 14 : 16 — это BN : BC, а не BN : NC. Сторона BC — это BN и NC вместе.
144 — Это вся сторона BC. Спрашивают её часть — BN.

Решать задачи на подобиеНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Отрезки на параллельных прямых

Задание 23. Вертикальные углы и накрест лежащие — «песочные часы».

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 12, DC = 24, AC = 24.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину MC.

Решение

Треугольники AMB и CMD подобны по двум углам: углы при вершине M вертикальные, углы MAB и MCD накрест лежащие при параллельных AB и DC
Стороны пропорциональны: AM : MC = AB : DC = 12 : 24 = 1 : 2
Значит, AC делится на 1 + 2 = 3 части, из них на MC приходится 2
MC = 24 · 23 = 16

Ответ: 16

Можно иначе. Обозначь MC = x, тогда AM = 24 − x. Из подобия: 24 − xx = 1224 = 12. Отсюда 2 · (24 − x) = x, 48 = 3x, x = 16.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось не 16

8 — Это AM. Отрезок MC прилегает к стороне DC и относится к AM так же, как DC к AB.
48 — Отношение 12 : 24 — это AM : MC, а не AC : MC. Весь отрезок AC — сумма двух частей.

3. Отрезок, параллельный основаниям трапеции

Задание 23. Дополнительная прямая превращает трапецию в параллелограмм и треугольник.

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 24, BC = 4, CF : DF = 4 : 1.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи длину EF.

Решение

Проведи через вершину C прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает основание AD в точке K, а отрезок EF — в точке L
В четырёхугольниках ABCK и EBCL противоположные стороны попарно параллельны: это параллелограммы. Поэтому AK = BC = 4 и EL = BC = 4, а KD = AD − AK = 24 − 4 = 20
Треугольники CLF и CKD подобны по двум углам: угол C у них общий, а углы CLF и CKD соответственные при параллельных прямых EF и AD и секущей CK. Значит, LF : KD = CF : CD = 4 : 5
LF = 20 · 45 = 16
EF = EL + LF = 4 + 16 = 20

Ответ: 20

Можно иначе. Длина отрезка, параллельного основаниям, меняется равномерно: от 4 у основания BC до 24 у основания AD. Точка F прошла 45 пути от C к D, значит, к 4 прибавилось 45 от разницы 20: 4 + 16 = 20.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось не 20

8 — Отношение 4 : 1 считается от точки C: отрезок CF прилегает к меньшему основанию BC.
14 — Это средняя линия. Отрезок EF делит боковую сторону не пополам, а в данном отношении.

4. Подобие по двум сторонам и углу

Задание 24. Равные углы накрест лежащие, стороны около них пропорциональны.

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 16, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Решение

Углы CBD и BDA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD
Сравни стороны, образующие эти углы: в треугольнике CBD это BC и BD, в треугольнике BDA — BD и AD. BCBD = 48 = 12 и BDAD = 816 = 12
Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны. По второму признаку подобия треугольники CBD и BDA подобны

Можно иначе. Главное — увидеть, что BD — общая сторона, которая в одном треугольнике «большая», а в другом «меньшая»: BD² = BC · AD, то есть 64 = 4 · 16. Это и есть пропорция из второго шага. Без равенства углов при BD доказательство неполное: за пропорцию без угла ставят 0 баллов.

Как это оценят на экзамене

2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы.
1 балл — доказательство в целом верное, но содержит неточности.
0 баллов — всё остальное.

5. Вписанный четырёхугольник и подобие

Задание 24. Равенство второй пары углов даёт свойство вписанного четырёхугольника.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Лучи BC и AD пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MCD и MAB подобны.

Решение

Вписанный четырёхугольник выпуклый: вершины B и C лежат по одну сторону от прямой AD. Поэтому на луче BC точка M лежит за точкой C — на продолжении стороны; так же на луче AD она лежит за точкой D
У треугольников MCD и MAB угол при вершине M общий
Углы MCD и BCD смежные, их сумма равна 180°
Четырёхугольник вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов BAD и BCD тоже равна 180°
Значит, углы MCD и BAD равны: каждый дополняет угол BCD до 180°. Точка D лежит на стороне MA треугольника MAB, поэтому угол BAD — это его угол MAB
Треугольники MCD и MAB подобны по двум углам: угол M общий, угол MCD равен углу MAB

Можно иначе. Почему противоположные углы дают 180°: вписанный угол BCD опирается на одну дугу BD, угол BAD — на другую, а вместе эти дуги составляют всю окружность, 360°; вписанный угол равен половине своей дуги. Из подобия получается полезное равенство: MC : MA = MD : MB, то есть MC · MB = MD · MA. В записи следи за порядком вершин: вершине C соответствует A, а не B.

Как это оценят на экзамене

2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы.
1 балл — доказательство в целом верное, но содержит неточности.
0 баллов — всё остальное.

Типичные ошибки

Составляют пропорцию из несоответствующих сторон. Соответствующие стороны лежат против равных углов.
Считают, что площади относятся как k, а не как k².
Приравнивают отношение отрезка стороны к целой стороне неправильно: в пропорции участвуют стороны треугольников, а не их части.
Во втором признаке берут угол не между пропорциональными сторонами.

В каких заданиях встречается

Задание 23 — подобие при параллельных прямых, отрезки в трапеции.
Задание 24 — доказательство подобия.
Задание 25 — подобие как шаг решения задачи высокого уровня.
Задание 19 — утверждения о подобии.

Вопросы и ответы

Какие треугольники называют подобными?

Те, у которых углы соответственно равны, а стороны пропорциональны.

Какой признак подобия используется чаще всего?

Первый, по двум углам: при параллельных прямых равные углы находятся сразу — соответственные, накрест лежащие, вертикальные, общий угол.

Как относятся площади подобных треугольников?

Как квадрат коэффициента подобия: если стороны больше в 3 раза, площадь больше в 9 раз.

Есть ли признаки подобия в справочных материалах ОГЭ?

Нет, их нужно помнить.

Решать задачи на «песочные часы»

Обновлено 11.10.2026