Свойства и признаки параллелограмма

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойств у него немного, но в заданиях 17, 23 и 24 они встречаются постоянно. В справочных материалах их нет.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Свойства

Противоположные стороны равны.
Противоположные углы равны.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: это односторонние углы при параллельных прямых.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения — центр симметрии параллелограмма.
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Биссектриса угла параллелограмма

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Причина — накрест лежащие углы: угол между биссектрисой и противоположной стороной равен углу между биссектрисой и стороной, из которой она выходит. Биссектрисы соседних углов перпендикулярны.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник — параллелограмм, если выполняется любое из условий:

две противоположные стороны равны и параллельны;
противоположные стороны попарно равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Частные случаи

Прямоугольник, ромб и квадрат — параллелограммы, поэтому всё сказанное верно и для них. У прямоугольника дополнительно равны диагонали, у ромба диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Решённые примеры

1. Угол по другому углу

Задание 17. Соседние углы в сумме дают 180°.

Один из углов параллелограмма равен 117°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°
Другой угол: 180° − 117° = 63°
Он и есть меньший: 63°

Ответ: 63

Можно иначе. У параллелограмма только два разных угла, и вместе они дают 180°. Один — 117°, значит другой — 63°.

Если получилось не 63

117 — Это угол из условия. Спрашивают меньший: он соседний с ним.
243 — 180° дают два соседних угла. 360° — это сумма всех четырёх.

Решать задачи на углы параллелограммаНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Диагональ делит угол

Задание 17. Угол параллелограмма — сумма двух данных углов.

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 43° и 15°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ BD выходит из вершины B и делит угол B на две части: 43° и 15°
Угол B: 43° + 15° = 58°. Соседний с ним: 180° − 58° = 122°
Меньший из них — 58°

Ответ: 58

Можно иначе. У параллелограмма только два разных угла, и в сумме они дают 180°. Один складывается из двух данных: 58°. Второй — 122°. Нужен меньший: 58°.

Если получилось не 58

122 — Это больший угол. Прочитай вопрос ещё раз.
28 — Диагональ проходит внутри угла: части нужно сложить.
302 — Соседние углы параллелограмма дополняют друг друга до 180°, а не до 360°.

3. Половина диагонали

Задание 17. В условии лишние числа: нужна только диагональ, на которой лежит отрезок.

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 36, BD = 8, AB = 21. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
DO — половина диагонали BD: 8 : 2 = 4

Ответ: 4

Можно иначе. В условии три числа, а нужно одно: DO лежит на диагонали BD. Точка O — её середина, поэтому DO = BO = 4. Диагональ AC и сторона AB здесь лишние.

Если получилось не 4

18 — Это половина диагонали AC. Отрезок DO лежит на диагонали BD.
8 — Это вся диагональ BD. Точка O делит её пополам.
21 — Сторона AB здесь лишняя. DO — половина диагонали BD.

4. Биссектриса и угол

Задание 17. Накрест лежащие углы при параллельных сторонах.

Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 31°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Стороны BC и AD параллельны, биссектриса — секущая. Угол между биссектрисой и BC равен углу между биссектрисой и AD как накрест лежащий
Значит, половина угла A равна 31°
Угол A: 2 · 31° = 62°

Ответ: 62

Можно иначе. Пусть биссектриса пересекает BC в точке K. Тогда в треугольнике ABK углы при вершинах A и K равны — оба по 31°: один — половина угла A, другой — накрест лежащий с ней. Угол A вдвое больше: 62°.

Если получилось не 62

31 — Это половина угла A: биссектриса делит его пополам.
118 — Это тупой угол параллелограмма. Спрашивают острый.
59 — Прямого угла здесь нет. Используй накрест лежащие углы при параллельных BC и AD.

5. Биссектриса и периметр

Задание 23. Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник — отсюда боковая сторона.

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 13, CK = 2.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи периметр.

Решение

Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AK
AK — биссектриса, поэтому углы KAD и BAK равны. Значит, в треугольнике ABK углы при стороне AK равны: он равнобедренный
AB = BK = 13. BC = BK + CK = 13 + 2 = 15
Периметр: 2 · (13 + 15) = 56

Ответ: 56

Можно иначе. Главное в задаче — увидеть равнобедренный треугольник: биссектриса угла параллелограмма всегда отсекает его. Отсюда боковая сторона равна отрезку BK, 13, а большая сторона — 15. Периметр: 13 + 15 + 13 + 15 = 56.

Как это оценят на экзамене

2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
1 балл — решение в целом верное, но в нём есть несущественные недочёты или вычислительные ошибки.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось не 56

34 — Боковая сторона AB равна отрезку BK, который прилегает к вершине B, а не CK.
28 — Это полупериметр. У параллелограмма две пары равных сторон.

Типичные ошибки

Считают, что диагонали параллелограмма равны. Это верно только для прямоугольника.
Считают, что диагонали делят углы пополам. Это свойство ромба.
Складывают противоположные углы до 180° — так ведут себя соседние углы.
Не замечают равнобедренный треугольник, который отсекает биссектриса.

В каких заданиях встречается

Задание 17 — углы, диагонали и биссектриса параллелограмма.
Задание 19 — утверждения о свойствах параллелограмма.
Задание 23 — биссектриса угла параллелограмма.
Задание 24 — доказательства с параллелограммом.

Вопросы и ответы

Какие свойства у параллелограмма?

Противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Равны ли диагонали параллелограмма?

В общем случае нет. Равные диагонали — признак прямоугольника.

Какой треугольник отсекает биссектриса угла параллелограмма?

Равнобедренный: биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K, даёт AB = BK.

Есть ли свойства параллелограмма в справочных материалах ОГЭ?

Нет, там только формулы площади. Свойства нужно помнить.

Решать задачи на биссектрису в параллелограмме

Обновлено 11.10.2026