Признаки равенства треугольников

Равенство треугольников — главный инструмент доказательств в задании 24 и скрытый шаг во многих задачах первой части: почему высота равнобедренной трапеции отсекает такие же отрезки, почему перпендикуляр из центра делит хорду пополам.

На странице

Теория
Решённые примеры: 4
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Три признака

По двум сторонам и углу между ними: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.
По стороне и двум прилежащим к ней углам.
По трём сторонам.

Прямоугольные треугольники

По двум катетам.
По катету и прилежащему острому углу.
По гипотенузе и острому углу.
По гипотенузе и катету.

Как выбрать признак

Выпиши, что известно: какие стороны и углы равны и почему — по условию, общая сторона, вертикальные углы, накрест лежащие углы при параллельных прямых, радиусы одной окружности.
Посмотри, где стоят равные углы. Угол должен лежать между двумя равными сторонами (первый признак) или прилегать к равной стороне (второй признак).
Если равны все три стороны, углы не нужны.
Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов — его и используют дальше: стороны, углы, высоты, медианы.

Когда признака нет

Двух сторон и угла не между ними недостаточно: такие треугольники могут быть разными. Трёх равных углов тоже недостаточно — треугольники будут только подобными. Признаков равенства в справочных материалах нет.

Решённые примеры

1. Прямая через центр параллелограмма

Задание 24. Сторона и два прилежащих угла: половины диагонали, вертикальные и накрест лежащие углы.

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

Решение

Рассмотри треугольники BOP и DOQ. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: BO = DO
Углы BOP и DOQ равны как вертикальные
Углы OBP и ODQ равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD
Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, равны и соответствующие стороны: BP = DQ

Можно иначе. Через симметрию: точка O — центр симметрии параллелограмма. При повороте на 180° вокруг O вершина B переходит в D, прямая AB — в прямую CD, а прямая PQ — сама в себя. Поэтому точка P переходит в Q, и отрезок BP — в отрезок DQ. На экзамене надёжнее записать доказательство через равенство треугольников.

Как это оценят на экзамене

2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы.
1 балл — доказательство в целом верное, но содержит неточности.
0 баллов — всё остальное.

Решать задачи на доказательствоНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Середина боковой стороны трапеции

Задание 24. Равенство двух маленьких треугольников позволяет заменить трапецию параллелограммом той же площади.

Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Решение

Проведи через точку E прямую, параллельную стороне CD. Пусть она пересекает прямые AD и BC в точках P и Q
Треугольники EAP и EBQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: EA = EB (E — середина AB), углы AEP и BEQ вертикальные, углы EAP и EBQ накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AB
Четырёхугольник PQCD — параллелограмм: стороны CD и PQ параллельны по построению, а стороны PD и QC лежат на параллельных прямых AD и BC
Трапеция и параллелограмм PQCD отличаются только треугольниками EAP и EBQ: один из них входит в трапецию, другой — в параллелограмм, остальное у них общее. Треугольники равны, поэтому площадь трапеции равна площади параллелограмма
У треугольника ECD и параллелограмма PQCD общее основание CD, а высоты к нему равны: точка E лежит на стороне PQ, параллельной CD. Значит, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, то есть половине площади трапеции

Можно иначе. Через среднюю линию: пусть высота трапеции h, а средняя линия m. Точка E лежит на средней линии, значит, от неё до оснований по h2. Площади треугольников с вершиной E на основаниях: 12 · BC · h2 и 12 · AD · h2 — вместе 12 · m · h, половина трапеции. На треугольник ECD (вершины C, D и E) остаётся вторая половина.

Как это оценят на экзамене

2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы.
1 балл — доказательство в целом верное, но содержит неточности.
0 баллов — всё остальное.

3. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам

Задание 16. Почему это так: прямоугольные треугольники с общим катетом и равными гипотенузами-радиусами равны.

В окружности с центром O и радиусом 26 проведена хорда AB. Расстояние от центра окружности до хорды равно 24. Найдите длину хорды AB.

Решение

Расстояние до хорды — перпендикуляр OH = 24. Он делит хорду пополам: AH = HB
В прямоугольном треугольнике OHA: AH² = 676 − 576 = 100, поэтому AH = 10
AB = 2 · 10 = 20

Ответ: 20

Можно иначе. Проведи радиус OA — это гипотенуза 26 треугольника с катетом 24. Второй катет — половина хорды: 10. Вся хорда вдвое длиннее: 20.

Если получилось не 20

10 — Это половина хорды: перпендикуляр из центра делит хорду пополам.
4 — Половину хорды находят по теореме Пифагора из треугольника OHA.

4. Высоты равнобедренной трапеции

Задание 17. Отрезки по краям равны, потому что равны прямоугольные треугольники по гипотенузе и катету.

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 12 и 24. Найдите меньшее основание.

Решение

Проведи вторую высоту — из другого конца меньшего основания. Трапеция равнобедренная, поэтому она отсекает с другой стороны такой же отрезок
Большее основание: 12 + 24 = 36. По краям — два отрезка по 12
Между высотами — меньшее основание: 36 − 2 · 12 = 12

Ответ: 12

Можно иначе. Отрезок 24 состоит из меньшего основания и такого же «хвостика» 12, как с другой стороны. Убери хвостик: 24 − 12 = 12.

Если получилось не 12

36 — Это большее основание. Меньшее короче на два отрезка по 12.
24 — В отрезок 24 входит ещё «хвостик» длиной 12 с другой стороны.

Типичные ошибки

Ссылаются на «две стороны и угол», когда угол не лежит между этими сторонами.
Доказывают равенство по трём углам. Равные углы дают только подобие.
Пишут, что элементы равны, не указав, почему: «как вертикальные», «как накрест лежащие при AB ∥ CD», «как радиусы».
Называют вершины треугольников не в том порядке и потом сравнивают несоответствующие стороны.

В каких заданиях встречается

Задание 24 — доказательства равенства отрезков и углов.
Задание 19 — утверждения о признаках равенства.
Задание 16 — хорда, касательные и радиусы.
Задание 17 — равнобедренная трапеция и параллелограмм.

Вопросы и ответы

Сколько признаков равенства треугольников?

Три: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам. Для прямоугольных треугольников есть ещё признак по гипотенузе и катету.

Можно ли доказать равенство треугольников по трём углам?

Нет. Треугольники с равными углами подобны, но могут быть разного размера.

Как оформить доказательство в задании 24?

Назвать треугольники, перечислить три пары равных элементов с причиной для каждой, назвать признак и записать вывод — что именно равно как соответствующие элементы.

Есть ли признаки равенства в справочных материалах ОГЭ?

Нет, их нужно помнить.

Решать задачи на равнобедренную трапецию

Обновлено 11.10.2026