Теорема Виета
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. На экзамене она экономит время: если корни целые, их подбирают в уме, без дискриминанта. В справочных материалах её нет — её нужно помнить.
Теория
Формулировка
Если приведённое квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет корни x1 и x2, то их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену:
- x1 + x2 = −p;
- x1 · x2 = q.
Для уравнения с любым старшим коэффициентом
Уравнение ax2 + bx + c = 0 делят на a и получают приведённое. Поэтому x1 + x2 = −ba и x1 · x2 = ca.
Обратная теорема — ею подбирают корни
Если числа m и n таковы, что m + n = −p и m · n = q, то они — корни уравнения x2 + px + q = 0. Порядок подбора: перебери пары множителей свободного члена q и найди ту, у которой сумма равна −p.
Знак произведения подсказывает знаки корней. Если q > 0, корни одного знака: оба положительные, когда −p > 0, оба отрицательные, когда −p < 0. Если q < 0, корни разных знаков, и больший по модулю — того же знака, что и −p.
Когда теорема не поможет
- Если дискриминант отрицательный, корней нет, и теорема о них ничего не говорит, хотя сумма и произведение «по формуле» посчитаются.
- Если корни дробные или иррациональные, подобрать их трудно — надёжнее формула через дискриминант.
- Сумму и произведение корней можно найти и без самих корней: например, x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2. Но сначала проверь, что корни есть.
Решённые примеры
1. Оба корня положительные
Задание 9. Произведение и сумма положительны — ищи два положительных множителя свободного члена.
Решите уравнение x2 − 9x + 20 = 0. Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
Решение
- Дискриминант: D = b2 − 4ac = (−9)2 − 4 · 20 = 1
- √D = 1, корни: x = 9 ± 12, то есть 4 и 5
- В ответ — меньший: 4
Ответ: 4
Если получилось не 4
- 5 — Это тоже корень, но в ответ просят меньший.
- −4 — Проверь знаки корней: подставь ответ в уравнение.
2. Корни разных знаков
Задание 9. Свободный член отрицательный — корни разных знаков. Сверь подбор с решением через дискриминант.
Решите уравнение x2 + 5x − 36 = 0. Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.
Решение
- Дискриминант: D = b2 − 4ac = 52 − 4 · (−36) = 169
- √D = 13, корни: x = −5 ± 132, то есть −9 и 4
- В ответ — меньший: −9
Ответ: −9
Если получилось не −9
- 4 — Это тоже корень, но в ответ просят меньший.
- 9 — Проверь знаки корней: подставь ответ в уравнение.
3. Корни трёхчлена в неравенстве
Задание 13. Сначала корни трёхчлена — их удобно подобрать по теореме Виета, — потом знаки.
Укажите решение неравенства x2 − x − 12 < 0.
Решение
- Найди корни уравнения x2 − x − 12 = 0: это −3 и 4
- Ветви параболы направлены вверх: между корнями она ниже оси x, левее и правее — выше
- Нужно < 0 — берём промежуток между корнями: (−3; 4)
Ответ: 4
4. Виета после замены переменной
Задание 20. После замены получается приведённое уравнение с целыми корнями.
Решите уравнение (x2 + 2x)2 + 3(x2 + 2x) − 18 = 0.
На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи наибольший корень.
Решение
- Обозначь t = x2 + 2x: t2 + 3t − 18 = 0
- По теореме Виета (или через дискриминант): t = −6 или t = 3
- x2 + 2x = 3: x2 + 2x − 3 = 0, откуда x = −3 или x = 1
- x2 + 2x = −6: x2 + 2x + 6 = 0, дискриминант 4 − 24 = −20 — отрицательный, корней нет
- Корни уравнения: −3 и 1. Наибольший из них: 1
Ответ: 1
Как это оценят на экзамене
- 2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
- 1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
- 0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.
Если получилось не 1
- 3 — Это значение t, а не x: осталось решить уравнение x2 + 2x = t.
- −3 — Это наименьший корень. Для проверки просят наибольший.
5. Второй корень и коэффициент по одному корню
Уравнение не решают: по произведению находят второй корень, по сумме — коэффициент.
Один из корней уравнения x2 + px − 24 = 0 равен 4. Найдите коэффициент p.
Решение
- По теореме Виета произведение корней равно свободному члену: 4 · x2 = −24, откуда x2 = −6
- Сумма корней равна −p: 4 + (−6) = −2, значит, −p = −2
- p = 2
Ответ: 2
6. Сумма квадратов корней без самих корней
Корни здесь иррациональные, но сумма их квадратов выражается через сумму и произведение.
Найдите сумму квадратов корней уравнения x2 − 5x + 3 = 0.
Решение
- Дискриминант 25 − 12 = 13 > 0 — корни есть, и теорема Виета применима
- x1 + x2 = 5, x1 · x2 = 3
- x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 25 − 6 = 19
Ответ: 19
Типичные ошибки
- Берут сумму корней равной p, а не −p. Для x2 − 7x + 10 = 0 сумма равна 7, а не −7.
- Применяют формулы для приведённого уравнения, когда старший коэффициент не равен 1: сумма корней 2x2 − 6x + 4 = 0 равна 3, а не 6.
- Подбирают корни, не проверив, что они есть: у x2 + 2x + 6 = 0 дискриминант отрицательный.
- Находят пару с правильным произведением, но не сверяют сумму.
- Путают знаки корней при отрицательном свободном члене: корни разных знаков, а не оба отрицательные.
В каких заданиях встречается
- Задание 9 — квадратные уравнения с целыми корнями.
- Задание 13 — корни трёхчлена в квадратном неравенстве.
- Задание 20 — уравнения с заменой переменной и биквадратные.
- Задание 22 — разложение трёхчлена на множители.
Вопросы и ответы
Как звучит теорема Виета?
Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна −p, а произведение равно q.
Как найти корни по теореме Виета?
Подобрать два числа, произведение которых равно свободному члену, а сумма — коэффициенту при x с противоположным знаком. Для x2 − 9x + 20 = 0 это 4 и 5: 4 · 5 = 20, 4 + 5 = 9.
Работает ли теорема Виета, если перед x^2 стоит не единица?
Да, но тогда сумма корней равна −ba, а произведение ca. Удобнее сначала разделить уравнение на старший коэффициент.
Можно ли на ОГЭ решать квадратное уравнение по теореме Виета?
Да. В первой части проверяют только ответ, а во второй достаточно записать подобранные корни и сослаться на теорему Виета (обратную ей теорему). В справочных материалах теоремы нет, есть только формула корней через дискриминант.
Обновлено 11.10.2026